Lei de Poiseuille para fluxo sanguíneo: Q(r, \Delta P)=\frac{\pi r^{4} \Delta P}{8 \eta L} :
(a) Linearize Q em torno de r=r_{0} e \Delta P=\Delta P_{0}
(b) Estime o aumento percentual no fluxo se o raio aumenta 3 \% e a pressão 5 \%

Passo 1

O enunciado dá a lei de Poiseuille para fluxo sanguíneo:
Q(r,\Delta P)=\frac{\pi r^{4}\Delta P}{8\eta L}.
As perguntas são:
  1. (a) Linearizar Q em torno de r=r_{0} e \Delta P=\Delta P_{0}.
  2. (b) Estimar o aumento percentual em Q se o raio aumenta 3\% e a pressão aumenta 5\%.
Informações relevantes fornecidas:
  • Q depende de dois parâmetros: o raio r e a diferença de pressão \Delta P.
  • Parâmetros físicos constantes: \eta (viscosidade) e L (comprimento); assumimos que não mudam.
  • Ponto de expansão: (r_{0},\Delta P_{0}).
  • Variações a considerar no item (b): \Delta r/r_{0}=3\%=0{,}03 e \Delta(\Delta P)/\Delta P_{0}=5\%=0{,}05.

Passo 2

O que significa “linearizar” aqui (aula rápida e prática).
  • Linearizar uma função de duas variáveis em torno de um ponto significa aproximá‑la por sua expansão de primeira ordem (aproximação linear, ou diferencial total). É a versão multivariável do polinômio de Taylor de ordem 1.
  • A fórmula da aproximação linear (diferencial total) para Q(r,\Delta P) em torno de (r_{0},\Delta P_{0}) é
Q(r,\Delta P)\approx Q(r_{0},\Delta P_{0}) + \left.\frac{\partial Q}{\partial r}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})}(r-r_{0}) + \left.\frac{\partial Q}{\partial \Delta P}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})}(\Delta P-\Delta P_{0}).
  • Aqui \left.\frac{\partial Q}{\partial r}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})} é a taxa de variação de Q quando só r muda (avaliada no ponto), e \left.\frac{\partial Q}{\partial \Delta P}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})} é a taxa quando só \Delta P muda.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (mostro passo a passo).
A função é
Q(r,\Delta P)=\frac{\pi r^{4}\Delta P}{8\eta L}.
Derivada parcial em relação a r (mantendo \Delta P constante):
\frac{\partial Q}{\partial r} = \frac{\pi \Delta P}{8\eta L}\cdot \frac{d}{dr}(r^{4}) = \frac{\pi \Delta P}{8\eta L}\cdot 4r^{3} = \frac{4\pi r^{3}\Delta P}{8\eta L}.
Derivada parcial em relação a \Delta P (mantendo r constante):
\frac{\partial Q}{\partial \Delta P} = \frac{\pi r^{4}}{8\eta L}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (r_{0},\Delta P_{0}) e simplificar em termos de Q_{0}=Q(r_{0},\Delta P_{0}).
Primeiro, escrevemos
Q_{0}=Q(r_{0},\Delta P_{0})=\frac{\pi r_{0}^{4}\Delta P_{0}}{8\eta L}.
Agora as derivadas avaliadas em (r_{0},\Delta P_{0}):
\left.\frac{\partial Q}{\partial r}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})} = \frac{4\pi r_{0}^{3}\Delta P_{0}}{8\eta L} \quad\text{e}\quad \left.\frac{\partial Q}{\partial \Delta P}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})} = \frac{\pi r_{0}^{4}}{8\eta L}.
Relacionando com Q_{0}:
  • Dividindo a primeira por Q_{0}:
\frac{\left.\frac{\partial Q}{\partial r}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})}}{Q_{0}} = \frac{4\pi r_{0}^{3}\Delta P_{0}/(8\eta L)}{\pi r_{0}^{4}\Delta P_{0}/(8\eta L)} = \frac{4}{r_{0}}.
Logo
\left.\frac{\partial Q}{\partial r}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})}=\frac{4Q_{0}}{r_{0}}.
  • Para a segunda:
\left.\frac{\partial Q}{\partial \Delta P}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})}=\frac{Q_{0}}{\Delta P_{0}}.

Passo 5

Escrever a aproximação linear final substituindo as derivadas.
Usando a fórmula do Passo 2 e as derivadas do Passo 4:
Q(r,\Delta P)\approx Q_{0} + \frac{4Q_{0}}{r_{0}}(r-r_{0}) + \frac{Q_{0}}{\Delta P_{0}}(\Delta P-\Delta P_{0}).
Esta é a linearização pedida no item (a). Pode também ser escrita em termos do incremento dQ:
dQ \approx \frac{4Q_{0}}{r_{0}}\,dr + \frac{Q_{0}}{\Delta P_{0}}\,d(\Delta P).

Passo 6

Converter para variação relativa (percentual) — fórmula prática para a prova.
Dividindo a expressão diferencial por Q_{0} obtemos a variação relativa:
\frac{dQ}{Q_{0}} \approx 4\frac{dr}{r_{0}} + \frac{d(\Delta P)}{\Delta P_{0}}.
Isto é muito prático: pequenas variações relativas do raio pesam com fator 4 (porque Q\propto r^{4}), enquanto variações relativas da pressão entram linearmente.

Passo 7

Aplicar os aumentos dados ( 3\% no raio e 5\% na pressão) para estimar o aumento percentual em Q.
Substituindo \dfrac{dr}{r_{0}}=0{,}03 e \dfrac{d(\Delta P)}{\Delta P_{0}}=0{,}05 na fórmula do Passo 6:
\frac{\Delta Q}{Q_{0}} \approx 4\cdot 0{,}03 + 0{,}05 = 0{,}12 + 0{,}05 = 0{,}17.
Convertendo em percentual: 0{,}17 = 17\%. Isso significa que, para variações pequenas, o fluxo aumenta aproximadamente 17\%.

Resposta

Q(r,\Delta P)\approx Q_{0} + \frac{4Q_{0}}{r_{0}}(r-r_{0}) + \frac{Q_{0}}{\Delta P_{0}}(\Delta P-\Delta P_{0})
17%

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