Lei de Poiseuille para fluxo sanguíneo: Q(r, \Delta P)=\frac{\pi r^{4} \Delta P}{8 \eta L} :
(a) Linearize Q em torno de r=r_{0} e \Delta P=\Delta P_{0}
(b) Estime o aumento percentual no fluxo se o raio aumenta 3 \% e a pressão 5 \%
Passo 1
O enunciado dá a lei de Poiseuille para fluxo sanguíneo:
Q(r,\Delta P)=\frac{\pi r^{4}\Delta P}{8\eta L}.
As perguntas são:
(a) Linearizar Q em torno de r=r_{0} e \Delta P=\Delta P_{0}.
(b) Estimar o aumento percentual em Q se o raio aumenta 3\% e a pressão aumenta 5\%.
Informações relevantes fornecidas:
Q depende de dois parâmetros: o raio r e a diferença de pressão \Delta P.
Parâmetros físicos constantes: \eta (viscosidade) e L (comprimento); assumimos que não mudam.
Ponto de expansão: (r_{0},\Delta P_{0}).
Variações a considerar no item (b): \Delta r/r_{0}=3\%=0{,}03 e \Delta(\Delta P)/\Delta P_{0}=5\%=0{,}05.
Passo 2
O que significa “linearizar” aqui (aula rápida e prática).
Linearizar uma função de duas variáveis em torno de um ponto significa aproximá‑la por sua expansão de primeira ordem (aproximação linear, ou diferencial total). É a versão multivariável do polinômio de Taylor de ordem 1.
A fórmula da aproximação linear (diferencial total) para Q(r,\Delta P) em torno de (r_{0},\Delta P_{0}) é
Aqui \left.\frac{\partial Q}{\partial r}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})} é a taxa de variação de Q quando só r muda (avaliada no ponto), e \left.\frac{\partial Q}{\partial \Delta P}\right|_{(r_{0},\Delta P_{0})} é a taxa quando só \Delta P muda.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostro passo a passo).
A função é
Q(r,\Delta P)=\frac{\pi r^{4}\Delta P}{8\eta L}.
Derivada parcial em relação a r (mantendo \Delta P constante):
Isto é muito prático: pequenas variações relativas do raio pesam com fator 4 (porque Q\propto r^{4}), enquanto variações relativas da pressão entram linearmente.
Passo 7
Aplicar os aumentos dados (3\% no raio e 5\% na pressão) para estimar o aumento percentual em Q.
Substituindo \dfrac{dr}{r_{0}}=0{,}03 e \dfrac{d(\Delta P)}{\Delta P_{0}}=0{,}05 na fórmula do Passo 6: