A concentração de um fármaco no sangue é modelada por C(t, M)=\frac{D}{M} e^{-k t} :
(a) Encontre \frac{\partial C}{\partial M} e \frac{\partial C}{\partial t}
(b) Qual variável tem maior impacto imediato na concentração?
Passo 1
Enunciado e dados importantes: a concentração do fármaco no sangue é dada por C(t,M)=\dfrac{D}{M} e^{-k t}. As incógnitas e perguntas do enunciado são:
(a) Encontrar \frac{\partial C}{\partial M} e \frac{\partial C}{\partial t}.
(b) Determinar qual variável (t ou M) tem maior impacto imediato na concentração.
Informações fornecidas (que vamos usar): D e k são constantes (dose administrada e constante de eliminação, respectivamente). As variáveis são t (tempo) e M (massa do corpo). Nada mais foi pedido além das derivadas parciais e da comparação de impacto imediato.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática): \frac{\partial C}{\partial M} mede a taxa de variação da concentração quando só mudamos M deixando t fixo. \frac{\partial C}{\partial t} mede a taxa de variação da concentração quando só mudamos t deixando M fixo. Na prática, tratamos uma variável como constante e derivamos em relação à outra. Vou usar regras básicas: regra do poder para M^{-1}, e regra da cadeia para e^{-kt}.
Passo 3
Cálculo de \frac{\partial C}{\partial M} passo a passo:
Escrevemos a função de forma conveniente:
C(t,M)=D \, M^{-1} e^{-k t}.
Ao derivar em relação a M tratamos t (e portanto e^{-kt}) como constante. A derivada de M^{-1} em relação a M é -1\cdot M^{-2}. Assim,
\frac{\partial C}{\partial M} = D \cdot \bigl(\,M^{-1}\bigr)'\cdot e^{-kt} = D \cdot \bigl(-M^{-2}\bigr)\cdot e^{-kt}.
Cálculo de \frac{\partial C}{\partial t} passo a passo:
Agora M é tratado como constante, então \dfrac{D}{M} é uma constante multiplicativa. Derivamos e^{-kt} em relação a t usando a regra da cadeia: a derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}. Aqui u(t)=-k t, então u'(t)=-k. Assim,
Interpretação física e sinais: ambas as derivadas são negativas. Isso significa:
\frac{\partial C}{\partial t}<0: aumentando o tempo t (passando mais tempo após a dose) a concentração diminui — é o efeito da eliminação/excreção.
\frac{\partial C}{\partial M}<0: aumentando a massa corporal M (com a mesma dose D) a concentração diminui — maior massa dilui a mesma dose.
Passo 6
Comparação do impacto imediato (explicação): para comparar o efeito instantâneo por unidade de cada variável, comparamos os módulos das derivadas parciais. Calculamos a razão entre os módulos:
Se kM>1, então \bigl|\frac{\partial C}{\partial t}\bigr|>\bigl|\frac{\partial C}{\partial M}\bigr|: um aumento de uma unidade de tempo tem, por unidade, maior efeito na concentração do que um aumento de uma unidade de massa.
Se kM<1, então \bigl|\frac{\partial C}{\partial M}\bigr|>\bigl|\frac{\partial C}{\partial t}\bigr|: um aumento de uma unidade de massa tem efeito maior.
Se kM=1, os efeitos por unidade são iguais.
Uma observação prática: estamos comparando efeitos por uma unidade de t (por ex. 1 hora) com efeitos por uma unidade de M (por ex. 1 kg). As unidades são diferentes, então a interpretação deve levar em conta o que é razoável mudar na prática (mudar t em 1 h é diferente de mudar M em 1 kg); ainda assim a comparação por unidade é essa condição kM.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para ilustrar): suponha k=0,05 (por hora) e M=70 (kg). Então kM=0,05\cdot 70=3,5>1. Logo, por unidade (1 h versus 1 kg), o tempo tem impacto maior na concentração do que a massa, segundo a regra anterior.
(b) Depende da magnitude de kM: se kM>1 então t tem maior impacto imediato por unidade; se kM<1 então M tem maior impacto por unidade; se kM=1 os impactos por unidade são iguais.