A Lei do Resfriamento de Newton descreve a taxa na qual um objeto se resfria em relação à diferença de temperatura entre o objeto e seu ambiente. A lei foi formulada pelo físico inglês Isaac Newton no século XVII. A Lei de resfriamento de Newton estabelece que a taxa na qual um objeto se resfria é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e seu ambiente. Em outras palavras, quanto maior a diferença de temperatura, mais rapidamente o objeto se resfria. Uma das aplicações da lei de resfriamento de Newton, seria a determinação de um modelo para o resfriamento na produção de blocos cerâmicos. Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Mediante essas informações, resolva o seguinte problema: Ao ser retirado do forno o bloco cerâmico tende a trocar o calor com o ambiente, logo se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do bloco cai em 20 minutos de 100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC?
• Apresente a Equação Diferencial ordinária, que descreve a lei de resfriamento de Newton;
• Apresente o desenvolvimento dos cálculos, para a determinação do tempo para que a temperatura decaia para 30º.
• Apresente a Equação Diferencial ordinária, que descreve a lei de resfriamento de Newton;
• Apresente o desenvolvimento dos cálculos, para a determinação do tempo para que a temperatura decaia para 30º.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse problema sobre a Lei do Resfriamento de Newton. Basicamente, temos um bloco cerâmico que está bem quente no forno (a 100ºC) e, quando tirado, ele começa a esfriar trocando calor com o ambiente, que está a 20ºC. Sabemos que em 20 minutos a temperatura do bloco cai para 60ºC. A gente quer descobrir quanto tempo levará para a temperatura chegar a 30ºC. Para isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton e resolver uma equação diferencial envolvendo temperaturas e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a Lei do Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura do objeto em relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto $ T(t) $ e a temperatura ambiente $ T_a $. Em fórmula, fica assim:
Aqui, $ k $ é uma constante positiva que depende das características do objeto e do ambiente.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis $ T $ e $ t $:
Integrando os dois lados, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração. Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando os dois lados:
Ou seja:
Passo 4
Vamos usar os valores que temos para encontrar as constantes $ C $ e $ k $. Sabemos que no tempo $ t = 0 $, a temperatura inicial $ T(0) = 100^\circ C $:
Então, a equação fica:
Agora, sabemos que em 20 minutos, a temperatura cai para $ 60^\circ C $:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 5
Com o valor de $ k $ encontrado, vamos usar a equação para descobrir o tempo $ t $ quando a temperatura $ T(t) = 30^\circ C $:
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo $ k = \frac{\ln 2}{20} $:
Resposta
O bloco cerâmico vai levar 60 minutos para sua temperatura descer para $ 30^\circ C $.