A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura do meio ambiente, isto é,
d Td t=k(T-Tm)
Suponha que um cômodo seja mantido a uma temperatura constante de 22^0 C e que um objeto neste cômodo leve 45 minutos para resfriar de 150^circ C a 50^circ C. Quanto tempo vai levar para este objeto atingir a temperatura de 27^circ C ?

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura do objeto satisfaz a Lei de Resfriamento de Newton, que é uma equação diferencial do tipo separável: dTdt=k,(T-Tm), onde Tm=22,^circC. Vamos precisar resolver essa EDO, aplicar as condições iniciais e depois achar o tempo em que T(t)=27,^circC.

Passo 2

Começamos separando variáveis na equação dTdt=k,(T-Tm). Integramos ambos os lados:
integraldTT-Tm=integral k,dt
A integral no lado esquerdo é ln|T-Tm| e no direito dá k,t+C. Logo:
ln|T-22|=k,t+C
Exponenciando, temos a solução geral:
T(t)-22=C',e^k,t
onde C'=e^C é uma constante a achar com a condição inicial. Como em t=0 temos T(0)=150,
150-22=C'=128
Logo a solução particular é:
T(t)=22+128,e^k,t

Passo 3

Agora usamos o dado de que em t=45 minutos a temperatura cai a 50,^circC. Substituindo:
50=22+128,e^45k
Daí
128,e^45k=28
e^45k=28128=732
Tomando logaritmo,
45k=lnl(tfrac732r)
Portanto
k=145lnl(tfrac732r)

Passo 4

Para achar o instante t em que T(t)=27,^circC, fazemos:
27=22+128,e^k,t
128,e^k,t=5
e^k,t=5128
Tomando logaritmo de novo e isolando t:
k,t=lnl(tfrac5128r)
t=1klnl(tfrac5128r)
Substituindo k já encontrado:
t=45timesln(5/128)ln(7/32)approx96,0 minutos

Resposta

O objeto levará aproximadamente 96 minutos para atingir 27 °C.

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