A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura do meio ambiente, isto é,
Suponha que um cômodo seja mantido a uma temperatura constante de
e que um objeto neste cômodo leve 45 minutos para resfriar de
a
. Quanto tempo vai levar para este objeto atingir a temperatura de
?
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura do objeto satisfaz a Lei de Resfriamento de Newton, que é uma equação diferencial do tipo separável:
, onde
. Vamos precisar resolver essa EDO, aplicar as condições iniciais e depois achar o tempo em que
.
Passo 2
Começamos separando variáveis na equação
. Integramos ambos os lados:
A integral no lado esquerdo é
Exponenciando, temos a solução geral:
onde
Logo a solução particular é:
Passo 3
Agora usamos o dado de que em
minutos a temperatura cai a
. Substituindo:
Daí
Tomando logaritmo,
Portanto
Passo 4
Para achar o instante
em que
, fazemos:
Tomando logaritmo de novo e isolando
Substituindo
Resposta
O objeto levará aproximadamente 96 minutos para atingir 27 °C.