Justifique por que as afirmações abaixo são verdadeiras.
Seja f diferenciável em x0, tal que f(x0) neq 0. Então |f(x)| é diferenciável em x0.

Passo 1

O enunciado pede para justificar que, se f é diferenciável em x0 e f(x0)neq0, então lvert f(x)rvert é diferenciável em x0. Vamos usar que f diferenciável implica contínua, e que a função valor absoluto é diferenciável para argumentos não nulos.

Passo 2

Como f é diferenciável em x0, segue que f é contínua em x0. E como f(x0)neq0, existe de<a>0 tal que, para todo x com lvert x-x0rvert<de<a, f(x) mantém o mesmo sinal de f(x0). Seja
s = signl(f(x0)r)in-1,1

Passo 3

Para lvert x-x0rvert<de<a, temos
lvert f(x)rvert = s,f(x)
Como s é constante e f é diferenciável em x0, a função xmapsto s,f(x) é diferenciável em x0.

Passo 4

Logo, lvert f(x)rvert coincide com uma função diferenciável numa vizinhança de x0, o que implica que lvert f(x)rvert é diferenciável em x0.

Resposta

Portanto, lvert f(x)rvert é diferenciável em x0, e
l(lvert frvertr)'(x0) = signl(f(x0)r),f'(x0)

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