Justifique por que as afirmações abaixo são verdadeiras.
Seja
diferenciável em
, tal que
. Então
é diferenciável em
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para justificar que, se
é diferenciável em
e
, então
é diferenciável em
. Vamos usar que
diferenciável implica contínua, e que a função valor absoluto é diferenciável para argumentos não nulos.
Passo 2
Como
é diferenciável em
, segue que
é contínua em
. E como
, existe
tal que, para todo
com
,
mantém o mesmo sinal de
. Seja
Passo 3
Para
, temos
Como
é constante e
é diferenciável em
, a função
é diferenciável em
.
Passo 4
Logo,
coincide com uma função diferenciável numa vizinhança de
, o que implica que
é diferenciável em
.
Resposta
Portanto,
é diferenciável em
, e