A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional a diferença entre a temperatura do objeto e a de seu meio ambiente (na maioria dos casos, a temperatura do ar ambiente). Suponha que a
temperatura ambiente seja de 70^circ F (cerca de 21^circ C ) e a taxa de 0,05 (min) ^-1. Escreva uma equação diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante de tempo. Um objeto com a temperatura de 50^circ C é colocado neste ambiente, quanto tempo é necessário para que este objeto apresente uma temperatura de 30^circ C.

Passo 1

O enunciado descreve a lei do resfriamento de Newton: a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente. Aqui vamos trabalhar em °C, com temperatura ambiente Tᵢ = 21 °C e constante k = 0,05 min⁻¹. Precisamos achar a EDO e, depois, o tempo para T passar de 50 °C para 30 °C.

Passo 2

Escrevemos a EDO segundo Newton: a variação dT/dt tem sinal negativo pois o objeto esfria quando T > Tᵢ. Assim,
dTdt = -0,05,(T - 21)

Passo 3

Separamos variáveis para integrar:
dTT - 21 = -0,05,dt

Passo 4

Integrando ambos os lados, obtemos
ln|T - 21| = -0,05,t + C

Passo 5

Elevando exponencialmente, a solução geral vira
T(t) = 21 + C',e^-0,05,t

Passo 6

Usando a condição inicial T(0) = 50, temos C’ = 50 - 21 = 29. Portanto a solução particular é
T(t) = 21 + 29,e^-0,05,t

Passo 7

Para achar o tempo t em que T(t) = 30, fazemos:
30 = 21 + 29,e^-0,05,t

Passo 8

Isolando o termo exponencial e resolvendo para t:
9 = 29,e^-0,05,t
e^-0,05,t = 929
t = -10,05lnl(929r) = 10,05lnl(299r)approx 23,4 minutos

Resposta

A equação diferencial é
dTdt = -0,05,(T - 21)
e o tempo necessário para a temperatura cair de 50 °C a 30 °C é aproximadamente 23,4 minutos.

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