A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional a diferença entre a temperatura do objeto e a de seu meio ambiente (na maioria dos casos, a temperatura do ar ambiente). Suponha que a
temperatura ambiente seja de
(cerca de
) e a taxa de 0,05 (min)
. Escreva uma equação diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante de tempo. Um objeto com a temperatura de
é colocado neste ambiente, quanto tempo é necessário para que este objeto apresente uma temperatura de
.
temperatura ambiente seja de
Passo 1
O enunciado descreve a lei do resfriamento de Newton: a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente. Aqui vamos trabalhar em °C, com temperatura ambiente Tᵢ = 21 °C e constante k = 0,05 min⁻¹. Precisamos achar a EDO e, depois, o tempo para T passar de 50 °C para 30 °C.
Passo 2
Escrevemos a EDO segundo Newton: a variação dT/dt tem sinal negativo pois o objeto esfria quando T > Tᵢ. Assim,
Passo 3
Separamos variáveis para integrar:
Passo 4
Integrando ambos os lados, obtemos
Passo 5
Elevando exponencialmente, a solução geral vira
Passo 6
Usando a condição inicial T(0) = 50, temos C’ = 50 - 21 = 29. Portanto a solução particular é
Passo 7
Para achar o tempo t em que T(t) = 30, fazemos:
Passo 8
Isolando o termo exponencial e resolvendo para t:
Resposta
A equação diferencial é
e o tempo necessário para a temperatura cair de 50 °C a 30 °C é aproximadamente 23,4 minutos.