Na lei de resfriamento de Newton, explique por que a constante
sempre é negativa, independentemente de a temperatura inicial do corpo
ser maior ou menor que a temperatura do ambiente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton. Essa lei descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando ele está trocando calor com o ambiente. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton e o papel da constante $ k $ nela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto ($ \frac{dT}{dt}
T
T_a $). Isso pode ser escrito como:
Aqui, $ k $ é a constante de resfriamento.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da constante $ k $. A equação tem um sinal negativo na frente de $ k $, o que indica que a taxa de variação da temperatura depende se o objeto está esquentando ou esfriando.
Passo 4
Se a temperatura inicial do objeto $ T_0 $ for maior que a do ambiente $ T_a $, ou seja, $ T_0 > T_a $, então $ T - T_a $ é positivo. Com o sinal negativo na frente, isso faz com que $ \frac{dT}{dt} $ seja negativo, indicando que a temperatura do objeto está diminuindo, ou seja, está esfriando.
Passo 5
Por outro lado, se a temperatura inicial do objeto $ T_0 $ for menor que a do ambiente $ T_a $, ou seja, $ T_0 < T_a $, então $ T - T_a $ é negativo. Ainda com o sinal negativo na frente, isso faz com que $ \frac{dT}{dt} $ seja positivo, indicando que a temperatura do objeto está aumentando, ou seja, está esquentando.
Passo 6
Em ambos os casos, para que a equação funcione corretamente, a constante $ k $ precisa ser positiva. Isso porque o sinal negativo na frente de $ k $ já garante que a taxa de variação da temperatura vai ter o comportamento correto, seja diminuindo ou aumentando a temperatura do objeto conforme a diferença com a temperatura ambiente.
Passo 7
Portanto, para manter a consistência na equação e garantir que a temperatura do objeto se aproxime da temperatura ambiente com o tempo, a constante $ k $ deve ser sempre positiva.
Resposta
A constante $ k $ na Lei de Resfriamento de Newton é sempre positiva para garantir que, independentemente se a temperatura inicial do objeto é maior ou menor que a temperatura ambiente, a taxa de variação da temperatura fará o objeto se aproximar da temperatura ambiente adequadamente.