A taxa de resfriamento de um corpo também depende de sua área de superfície exposta
. Se
for constante, então uma modificação da lei do resfriamento de Newton é dada por
onde
e
é a temperatura ambiente. Suponha que duas xícaras,
e
, sejam preenchidas com café ao mesmo tempo. Inicialmente, a temperatura do café é de
. A área de superfície exposta do café na xícara
é o dobro da área de superfície exposta do café na xícara
. Após 10 minutos, a temperatura do café na xícara
é
. Se
, qual será a temperatura do café na xícara
após 10 minutos?
Passo 1
O enunciado trata da lei do resfriamento de Newton modificada pela área de superfície exposta, dada por
. Aqui a superfície de B é o dobro da de A, e queremos achar a temperatura de B após 10 min, sabendo que em A cai de 90 °C para 70 °C em 10 min e que a temperatura ambiente é 25 °C.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial de forma geral. Separamos variáveis:
Passo 3
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Isso implica
Passo 5
Para a xícara A, temos
e
. Logo:
Passo 6
Isso nos dá o valor de
, mas não precisamos isolá-lo explicitamente. Só usamos
.
Na xícara B, a área é o dobro: . Assim:
Na xícara B, a área é o dobro:
Passo 7
Calculando:
Portanto,
Resposta
A temperatura do café na xícara B após 10 minutos é aproximadamente 56{,}15 °C.