A taxa de resfriamento de um corpo também depende de sua área de superfície exposta S. Se S for constante, então uma modificação da lei do resfriamento de Newton é dada por
d Td t=k S(T-Ta)
onde k<0 e Ta é a temperatura ambiente. Suponha que duas xícaras, A e B, sejam preenchidas com café ao mesmo tempo. Inicialmente, a temperatura do café é de 90^circ C. A área de superfície exposta do café na xícara B é o dobro da área de superfície exposta do café na xícara A. Após 10 minutos, a temperatura do café na xícara A é 70^circ C. Se Ta=25^circ C, qual será a temperatura do café na xícara B após 10 minutos?

Passo 1

O enunciado trata da lei do resfriamento de Newton modificada pela área de superfície exposta, dada por dTdt=kSl(T-Tar). Aqui a superfície de B é o dobro da de A, e queremos achar a temperatura de B após 10 min, sabendo que em A cai de 90 °C para 70 °C em 10 min e que a temperatura ambiente é 25 °C.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial de forma geral. Separamos variáveis:
dTT-Ta=kS,dt

Passo 3

Integrando ambos os lados:
integraldTT-Ta=integral kS,dtRightarrowln|T-Ta|=kS,t+C

Passo 4

Isso implica
T(t)=Ta+l(T(0)-Tar)e^kS t

Passo 5

Para a xícara A, temos T(0)=90 e T(10)=70. Logo:
70=25+65e^10kSRightarrow e^10kS=4565=913

Passo 6

Isso nos dá o valor de kS, mas não precisamos isolá-lo explicitamente. Só usamos e^10kS=9/13.
Na xícara B, a área é o dobro: SB=2S. Assim:
TB(10)=25+65e^(kcdot2S)10=25+65l(e^10kSr)^2=25+65l(913r)^2

Passo 7

Calculando:
65times81169=5265169approx31,15
Portanto,
TB(10)approx25+31,15=56,15 ^circC

Resposta

A temperatura do café na xícara B após 10 minutos é aproximadamente 56{,}15 °C.

Exercícios relacionados