A lei de resfriamento de Newton postula que a velocidade de resfriamento de um corpo d Td t, em cada instante t, é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo T e a temperatura do meio circundante Tm.
(a) Escreva a equação diferencial que modela a lei de resfriamento de Newton.
(b) Considerando que a temperatura de determinado corpo no instante t=0 é T0, use a equação obtida no item (a) para mostrar que a temperatura do corpo em um instante t qualquer é dada por
T(t)=Tm+(T0-Tm) e^k t
© Um corpo a 100^circ C é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém constantemente 25^circ C. Após 5 minutos, a temperatura do corpo caiu para 90^circ C. Depois de quanto tempo, aproximadamente, o corpo estará a 50^circ C ?

Passo 1

A questão trata da lei de resfriamento de Newton, que afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo T e a do meio Tm. Para resolver, vamos usar EDO separável, integrar, aplicar a condição inicial e, na parte ©, usar dados numéricos para determinar a constante e o instante em que T=50,^circC.

Passo 2

Pela lei de Newton, a velocidade de resfriamento dTdt é proporcional a T - Tm. Escrevemos então a equação diferencial:
dTdt = k,(T - Tm)
Essa é uma equação separável. Dividimos ambos os lados por T - Tm e integramos:
integral 1T - Tm,dT = integral k,dt
lnl|T - Tmr| = k,t + C

Passo 3

Aplicando a condição inicial T(0)=T0, obtemos C = ln|T0 - Tm|. Substituindo e exponenciando, chega-se a:
T(t) = Tm + (T0 - Tm),e^k t

Passo 4

Na parte ©, com Tm=25,^circC, T0=100,^circC e T(5)=90,^circC, temos
90 - 25 = (100 - 25),e^5k ; Longrightarrow; 65 = 75,e^5k ; Longrightarrow; e^5k = 1315 ; Longrightarrow; k = 15lnl(1315r) approx -0,02862,min^-1

Passo 5

Para encontrar o tempo em que T(t)=50,^circC, montamos
50 - 25 = 75,e^k t ; Longrightarrow; 25 = 75,e^k t ; Longrightarrow; e^k t = 13 ; Longrightarrow; k t = lnl(tfrac13r) ; Longrightarrow; t = ln(1/3)k approx 38,4 min

Resposta

tapprox 38,4 minutos

Exercícios relacionados