Use integral tripla para calcular o volume sob a superfície e os planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que está abaixo da superfície e limitado pelos planos , , e . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são uma forma de somar volumes em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para , e .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites para cada variável. Os limites para são de a , conforme os planos dados. Para , temos que ele vai de até algum valor que precisamos determinar. E para , sabemos que ele vai de (o plano ) até (a superfície dada).
Passo 3
Vamos pensar nos limites de . Como não foi especificado um limite superior para , vamos assumir que ele também vai de a para manter a simetria com . Assim, nossos limites são:
de a
de a
de a
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. A integral será:
Vamos integrar primeiro em relação a , depois e por último .
Passo 5
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:
V = integral-2^2 integral-2^2 (x^2 + y^2) , dy , dx
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a y . Primeiro, separamos a integral:
integral-2^2 (x^2 + y^2) , dy = integral-2^2 x^2 , dy + integral-2^2 y^2 , dy