Use integral tripla para calcular o volume sob a superfície z=x^2+y^2 e os planos x=-2, x=2, y=-2, e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que está abaixo da superfície z = x^2 + y^2 e limitado pelos planos x = -2 , x = 2 , y = -2 e z = 0 . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são uma forma de somar volumes em três dimensões. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites para cada variável. Os limites para x são de -2 a 2, conforme os planos dados. Para y , temos que ele vai de -2 até algum valor que precisamos determinar. E para z , sabemos que ele vai de 0 (o plano z = 0 ) até x^2 + y^2 (a superfície dada).

Passo 3

Vamos pensar nos limites de y . Como não foi especificado um limite superior para y , vamos assumir que ele também vai de -2 a 2 para manter a simetria com x . Assim, nossos limites são:
  • x de -2 a 2
  • y de -2 a 2
  • z de 0 a x^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. A integral será:
V = integral-2^2 integral-2^2 integral0^x^2 + y^2 dz , dy , dx
Vamos integrar primeiro em relação a z , depois y e por último x .

Passo 5

Integrando em relação a z :
integral0^x^2 + y^2 dz = z |0^x^2 + y^2 = x^2 + y^2
Então, a integral fica:
V = integral-2^2 integral-2^2 (x^2 + y^2) , dy , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a y . Primeiro, separamos a integral:
integral-2^2 (x^2 + y^2) , dy = integral-2^2 x^2 , dy + integral-2^2 y^2 , dy
Integrando cada parte:
integral-2^2 x^2 , dy = x^2 cdot (2 - (-2)) = 4x^2
integral-2^2 y^2 , dy = ( y^33 ) |-2^2 = 83 - ( -83 ) = 163
Então, a integral em y fica:
4x^2 + 163

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a x :
V = integral-2^2 (4x^2 + 163) dx = 4 integral-2^2 x^2 dx + 163 integral-2^2 dx
Calculando cada parte:
4 integral-2^2 x^2 dx = 4 ( x^33 ) |-2^2 = 4 ( 83 - ( -83 ) ) = 4 cdot 163 = 643
163 integral-2^2 dx = 163 cdot (2 - (-2)) = 163 cdot 4 = 643

Passo 8

Somando as duas partes:
V = 643 + 643 = 1283

Resposta

O volume é 1283 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados