Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando todas as respostas:
Se R>0 é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
.
Se R>0 é o raio de convergência de
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para a gente avaliar se uma afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação é sobre o raio de convergência de séries de potências. Vamos precisar entender o que é raio de convergência e como ele muda quando manipulamos a série original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência de uma série de potências. Imagine que temos uma série assim:
O raio de convergência $ R $ é o valor tal que a série converge para todos os $ x $ onde $ |x| < R $ e diverge quando $ |x| > R $. Se $ R > 0 $, isso significa que a série tem um intervalo de números $ x $ ao redor de 0 onde ela funciona direitinho.
Passo 3
Agora, a gente olha para a segunda série:
Essa série parece com a primeira, mas agora o $ x $ está elevado a $ 3n $ ao invés de apenas $ n $. Isso muda um pouco como a série se comporta.
Passo 4
Vamos reescrever a segunda série para facilitar a comparação:
Isso mostra que a série é basicamente a primeira, mas com $ x^{3} $ substituindo $ x $.
Passo 5
Sabendo que o raio de convergência da primeira série é $ R $, para a nova série onde temos $ x^{3} $, o raio de convergência vai ser quando $ |x^{3}| < R $. Isso significa que:
Então, o novo raio de convergência é $ \sqrt[3]{R} $.
Resposta
Verdadeiro (V).