Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série
, que equivale a
, converge ou diverge. O conteúdo é o Teste da Integral e vamos precisar definir uma função
contínua, positiva e decrescente em
tal que
.
Passo 2
Definimos a função
. Note que para
ela é positiva e contínua, e sua derivada
Passo 3
Passo 4
mostra que
é decrescente. Então podemos aplicar o Teste da Integral calculando
Passo 5
Passo 6
Fazendo a substituição
, temos
Passo 7
Passo 8
Portanto
Passo 9
Passo 10
Ao tomar o limite
,
, logo
Passo 11
Passo 12
Pelo Teste da Integral, como a integral imprópria diverge, a série original também diverge.
Resposta
A série diverge pelo Teste da Integral.