Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
15+18+111+114+117+ldots

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral e decidir se a série , que equivale a , converge ou diverge. O conteúdo é o Teste da Integral e vamos precisar definir uma função contínua, positiva e decrescente em tal que .

Passo 2

Definimos a função . Note que para ela é positiva e contínua, e sua derivada

Passo 3

f'(x)= -3(3x+2)^2<0,

Passo 4

mostra que é decrescente. Então podemos aplicar o Teste da Integral calculando

Passo 5

integral1^bf(x),dx=integral1^b13x+2,dx

Passo 6

Fazendo a substituição , temos

Passo 7

integral13x+2,dx=13ln|3x+2|+C

Passo 8

Portanto

Passo 9

integral1^b13x+2,dx=13l[ln(3b+2)-ln(5)r]

Passo 10

Ao tomar o limite , , logo

Passo 11

integral1^infty13x+2,dx=infty

Passo 12

Pelo Teste da Integral, como a integral imprópria diverge, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Integral.

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