Questão 9. Encontre os valores de p para os quais a série é convergente.
[
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(n{2}+1\right){p}

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de tais que a série seja convergente. O conteúdo é estudo de séries infinitas e vamos usar comparação assintótica com uma série do tipo p-série.

Passo 2

Para entender o comportamento de quando é grande, note que se comporta como . Portanto, para grande temos

Passo 3

(n^2+1)^psim n^2p

Passo 4

Com isso, o termo geral da série fica aproximadamente

Passo 5

an=ncdot n^2p=n^2p+1

Passo 6

Agora aplicamos o teste da p-série: uma série converge se, e somente se, . No nosso caso .

Passo 7

Impondo obtemos

Passo 8

2p< -2Rightarrow p< -1

Resposta

A série converge se, e somente se, .

Exercícios relacionados