Questão 9. Encontre os valores de
para os quais a série é convergente.
[
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(n{2}+1\right){p}
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(n{2}+1\right){p}
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de
tais que a série
seja convergente. O conteúdo é estudo de séries infinitas e vamos usar comparação assintótica com uma série do tipo p-série.
Passo 2
Para entender o comportamento de
quando
é grande, note que
se comporta como
. Portanto, para
grande temos
Passo 3
Passo 4
Com isso, o termo geral da série fica aproximadamente
Passo 5
Passo 6
Agora aplicamos o teste da p-série: uma série
converge se, e somente se,
. No nosso caso
.
Passo 7
Impondo
obtemos
Passo 8
Resposta
A série converge se, e somente se,
.