Questão 3. Considere a série
e suponha que
, para
. Tal série é denominada série telescópica.
a) Verifique que
.
b) Conclua que se
real, então a soma da série infinita é igual a
.
a) Verifique que
b) Conclua que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata de séries telescópicas, que são aquelas onde cada termo se cancela com parte do termo seguinte. Precisamos verificar duas coisas:
a) Mostrar que a soma parcial $ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_{k} $ é igual a $ b_{1} - b_{n+1} $.
b) Concluir que se $ \lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = b $ (um número real), então a soma da série infinita é $ b_{1} - b $.
Para resolver isso, vamos usar propriedades das séries telescópicas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Dada a série $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $, se cada termo $ a_{k} $ pode ser escrito como $ a_{k} = b_{k} - b_{k+1} $, então a série é telescópica. Isso significa que, ao somarmos os termos, muitas partes vão se cancelar.
Passo 3
Vamos calcular a soma parcial $ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_{k} $. Substituindo $ a_{k} $ por $ b_{k} - b_{k+1} $, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa soma:
Observe que muitos termos se cancelam!
Passo 5
Ao somar, vemos que $ -b_{2} $ com $ +b_{2} $ cancelam, $ -b_{3} $ com $ +b_{3} $ cancelam, e assim por diante, até ficar apenas:
Então, mostramos que:
Passo 6
Agora, para a parte b), queremos encontrar a soma da série infinita $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $. Sabemos que:
Nos dizem que $ \lim_{n \to \infty} b_{n} = b $. Então, o que acontece com $ b_{n+1} $ quando $ n $ tende ao infinito?
Passo 7
Como $ \lim_{n \to \infty} b_{n} = b $, também vale que $ \lim_{n \to \infty} b_{n+1} = b $. Assim, substituindo na expressão da soma infinita:
Resposta
A soma da série infinita é igual a $ b_{1} - b $.