Questão 3. Considere a série sumk=1^infty ak e suponha que ak=bk-bk+1, para k >= 1. Tal série é denominada série telescópica.
a) Verifique que sn=sumk=1^n ak=b1-bn+1.
b) Conclua que se lim n infty bn=b, com b real, então a soma da série infinita é igual a b1-b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de séries telescópicas, que são aquelas onde cada termo se cancela com parte do termo seguinte. Precisamos verificar duas coisas:
a) Mostrar que a soma parcial $ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_{k} $ é igual a $ b_{1} - b_{n+1} $.
b) Concluir que se $ \lim_{n \rightarrow \infty} b_{n} = b $ (um número real), então a soma da série infinita é $ b_{1} - b $.
Para resolver isso, vamos usar propriedades das séries telescópicas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Dada a série $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $, se cada termo $ a_{k} $ pode ser escrito como $ a_{k} = b_{k} - b_{k+1} $, então a série é telescópica. Isso significa que, ao somarmos os termos, muitas partes vão se cancelar.

Passo 3

Vamos calcular a soma parcial $ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_{k} $. Substituindo $ a_{k} $ por $ b_{k} - b_{k+1} $, temos:
sn = sumk=1^n ak

Passo 4

Agora, vamos expandir essa soma:
sn = (b1 - b2) + (b2 - b3) + (b3 - b4) + dots + (bn - bn+1)
Observe que muitos termos se cancelam!

Passo 5

Ao somar, vemos que $ -b_{2} $ com $ +b_{2} $ cancelam, $ -b_{3} $ com $ +b_{3} $ cancelam, e assim por diante, até ficar apenas:
-b2
Então, mostramos que:
+b2

Passo 6

Agora, para a parte b), queremos encontrar a soma da série infinita $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} $. Sabemos que:
sumk=1^infty ak
Nos dizem que $ \lim_{n \to \infty} b_{n} = b $. Então, o que acontece com $ b_{n+1} $ quando $ n $ tende ao infinito?

Passo 7

Como $ \lim_{n \to \infty} b_{n} = b $, também vale que $ \lim_{n \to \infty} b_{n+1} = b $. Assim, substituindo na expressão da soma infinita:
limn to infty bn = b

Resposta

A soma da série infinita é igual a $ b_{1} - b $.

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