Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando todas as respostas:
Uma série de potências
nunca pode convergir para um único valor de
.
Uma série de potências
Passo 1
Vamos analisar a sentença: “Uma série de potências
nunca pode convergir para um único valor de
.” O conteúdo aqui envolve séries de potências e sua convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série de potências, como determinar sua convergência e aplicar esses conceitos para avaliar a veracidade da sentença.
Passo 2
Primeiro, uma série de potências é uma soma infinita da forma
, onde
são os coeficientes e
é a variável. Essas séries são importantes porque aparecem em muitas áreas da matemática, como em expansões de funções.
Passo 3
Agora, sobre a convergência de uma série de potências: uma série converge para um valor específico de
se, ao somarmos infinitos termos, o resultado se aproxima de um número fixo. A convergência depende do valor de
e dos coeficientes
.
Passo 4
Existe um raio de convergência
para uma série de potências, que determina para quais valores de
a série converge. Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, a convergência depende de mais detalhes.
Passo 5
Considerando isso, a sentença afirma que a série nunca converge para nenhum valor de
, o que não é verdade. Na verdade, para valores de
dentro do raio de convergência, a série converge para um valor específico.
Resposta
Falsa (F). Uma série de potências pode sim convergir para valores específicos de
, especialmente quando
está dentro do raio de convergência da série.