Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando todas as respostas:
Uma série de potências sumn=0^+infty an x^n nunca pode convergir para um único valor de x.

Passo 1

Vamos analisar a sentença: “Uma série de potências sumn=0^+infty an x^n nunca pode convergir para um único valor de x.” O conteúdo aqui envolve séries de potências e sua convergência. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série de potências, como determinar sua convergência e aplicar esses conceitos para avaliar a veracidade da sentença.

Passo 2

Primeiro, uma série de potências é uma soma infinita da forma sumn=0^+infty an x^n, onde an são os coeficientes e x é a variável. Essas séries são importantes porque aparecem em muitas áreas da matemática, como em expansões de funções.

Passo 3

Agora, sobre a convergência de uma série de potências: uma série converge para um valor específico de x se, ao somarmos infinitos termos, o resultado se aproxima de um número fixo. A convergência depende do valor de x e dos coeficientes an.

Passo 4

Existe um raio de convergência R para uma série de potências, que determina para quais valores de x a série converge. Se |x| < R, a série converge; se |x| > R, diverge; e se |x| = R, a convergência depende de mais detalhes.

Passo 5

Considerando isso, a sentença afirma que a série nunca converge para nenhum valor de x, o que não é verdade. Na verdade, para valores de x dentro do raio de convergência, a série converge para um valor específico.

Resposta

Falsa (F). Uma série de potências pode sim convergir para valores específicos de x, especialmente quando x está dentro do raio de convergência da série.

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