Usando o Teste da Comparação, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1+sin n10^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série usando o Teste da Comparação. O conteúdo envolve séries de termos não negativos e comparação com uma série geométrica. Vamos precisar usar o fato de que está entre e e também a convergência de séries geométricas.

Passo 2

Como 0<=1+sin n<=2 satisfaz 0<=1+sin n10^n<=210^n , temos
Logo, o termo geral da nossa série é não negativo e satisfaz

Passo 3

A série comparativa
sumn=1^infty210^n=2sumn=1^inftyl(110r)^n
é uma série geométrica de razão , portanto converge (seu valor exato seria , mas o que importa é que é finita).

Passo 4

Pelo Teste da Comparação, se para todo e converge, então também converge. Aqui e , logo nossa série original converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Comparação.

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