Usando o Teste da Comparação, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
usando o Teste da Comparação. O conteúdo envolve séries de termos não negativos e comparação com uma série geométrica. Vamos precisar usar o fato de que
está entre
e
e também a convergência de séries geométricas.
Passo 2
Como
satisfaz
, temos
Logo, o termo geral da nossa série é não negativo e satisfaz
Passo 3
A série comparativa
é uma série geométrica de razão
, portanto converge (seu valor exato seria
, mas o que importa é que é finita).
Passo 4
Pelo Teste da Comparação, se
para todo
e
converge, então
também converge. Aqui
e
, logo nossa série original converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.