Sabendo que f^prime(x)=x^2 e^(x^3-3) e que f(0)=e^-2, determine f(1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a derivada da função e o valor da função em , que é . Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para encontrar a função original a partir da sua derivada.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a função f(x) = integral f'(x) , dx + C = integral x^2 e^x^3 - 3 , dx + C , precisamos integrar a derivada . A integral de vai nos dar mais uma constante de integração .

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral dudx = 3x^2 Rightarrow du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3 . Aqui, vamos usar a técnica de substituição. Vamos deixar isso bem simples:
Escolha . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x^2 e^x^3 - 3 , dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du = 13 e^u + C
Voltando para 13 e^x^3 - 3 + C :

Passo 5

Então, a função f(x) = 13 e^x^3 - 3 + C é:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 6

Substituindo f(0) = 13 e^0 - 3 + C = 13 e^-3 + C = e^-2 na equação de C = e^-2 - 13 e^-3 :
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos f(x) = 13 e^x^3 - 3 + e^-2 - 13 e^-3 , vamos escrever a expressão completa de :

Passo 8

Finalmente, para encontrar f(1) = 13 e^1 - 3 + e^-2 - 13 e^-3 = 13 e^-2 + e^-2 - 13 e^-3 , substituímos f(1) = ( 13 + 1 ) e^-2 - 13 e^-3 = 43 e^-2 - 13 e^-3 na função:
Simplificando:

Resposta

f(1) = 4 e^-2 - e^-33

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