Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Determine, se possível, a inversa da função
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Determine, se possível, a inversa da função
Passo 1
O enunciado define a função f de forma peça a peça: para x<0, f(x)=x+4, e para x≥0, f(x)=e^x+3. O conteúdo é função inversa, então precisamos verificar se f é injetiva (um a um) e achar, em cada ramo, a expressão de x em termos de y=f(x).
Passo 2
Analisamos a monotonicidade de f nos dois trechos: para x<0, f’(x)=1>0, logo é crescente; para x≥0, f’(x)=e^x>0, também crescente. Além disso f é contínua em x=0, pois limₓ→0⁻(x+4)=4 e f(0)=e⁰+3=4, garantindo que f é estritamente crescente e portanto injetiva.
Passo 3
Determinamos a imagem de cada ramo: para x<0, f(x)=x+4 varia em (-∞,4); para x≥0, f(x)=e^x+3 varia em [4,∞). Assim a imagem de f é todo ℝ, e a inversa terá domínio ℝ.
Passo 4
Para y<4, invertemos y=x+4 obtendo x=y−4. Para y≥4, invertemos y=e^x+3, daí e^x=y−3 e, portanto, x=ln(y−3).
Passo 5
Concluímos a forma peça a peça da função inversa f⁻¹, respeitando os domínios de cada expressão.