Calale a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo é integração de função racional e vamos usar decomposição de frações, substituição e uma fórmula padrão para
.
Passo 2
Escrevemos o numerador como combinação de
(que aparece na derivada de
) mais um resto. Queremos
tais que
Igualando coeficientes, obtemos
,
e
.
Passo 3
Com isso a integral se separa em
A primeira parte é direta porque
Logo
Passo 4
Para a segunda parte separamos:
.
No termo com , fazemos
, logo
, e
No termo com
Passo 5
Para
usamos a fórmula padrão
Aqui
, então
Passo 6
Somando tudo e vendo que os termos em
se cancelam, obtemos
Resposta
-\frac{5}{2(x^2+2)} - \sqrt{2},\arctan\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) + C