Calale a integral integral -2 x^2+5 x-4(x^2+2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral -2 x^2+5 x-4(x^2+2)^2,dx. O conteúdo é integração de função racional e vamos usar decomposição de frações, substituição e uma fórmula padrão para integral dx(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Escrevemos o numerador como combinação de -x^2+2 (que aparece na derivada de x/(x^2+2)) mais um resto. Queremos A,B,C tais que
-2x^2+5x-4 = A(-x^2+2) + Bx + C
Igualando coeficientes, obtemos A=2, B=5 e C=-8.

Passo 3

Com isso a integral se separa em
integral 2(-x^2+2)(x^2+2)^2 ,dx + integral 5x-8(x^2+2)^2 ,dx
A primeira parte é direta porque
ddxl(xx^2+2r) = -x^2+2(x^2+2)^2
Logo
integral 2(-x^2+2)(x^2+2)^2 ,dx = 2cdot xx^2+2

Passo 4

Para a segunda parte separamos:
5x.
No termo com u=x^2+2, fazemos du=2x,dx, logo integral 5x(x^2+2)^2 dx = 52integral u^-2 du = -52(x^2+2) , e

Passo 5

Para integral dx(x^2+2)^2 usamos a fórmula padrão
integral dx(x^2+a^2)^2 = x2a^2(x^2+a^2) + 12a^3arctanl(xar)
Aqui a=raiz2, então
integral dx(x^2+2)^2 = x4(x^2+2) + 14raiz2arctanl(xraiz2r)

Passo 6

Somando tudo e vendo que os termos em x/(x^2+2) se cancelam, obtemos
2xx^2+2 -52(x^2+2) -2xx^2+2 -raiz2arctanl(tfracxraiz2r) + C = -52(x^2+2) - raiz2arctanl(tfracxraiz2r) + C

Resposta

-\frac{5}{2(x^2+2)} - \sqrt{2},\arctan\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{2}}\bigr) + C

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