Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Encontre os valores extremos absolutos e relativos de f(x)=2+2 x^2-x^4 no intervalo [2,4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores extremos absolutos e relativos da função $ f(x) = 2 + 2x^{2} - x^{4} $ no intervalo f(x) = 2 + 2x^2 - x^4 . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre extremos de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos e depois comparar esses valores dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. A derivada também nos ajuda a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A função é:
f(x)
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de uma constante, como 2, é 0.
  • A derivada de $ 2x^{2} $ é $ 4x $ (usando a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de $ -x^{4} $ é $ -4x^{3} $.
Então, a derivada de $ f(x) $ é:
f(x) = 2 + 2x^2 - x^4
2x^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos para serem máximos ou mínimos.
Temos:
f'(x) = 4x - 4x^3
Vamos igualar a derivada a zero:
4x - 4x^3 = 0
Podemos fatorar:
4x(1 - x^2) = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ 4x = 0 $ → $ x = 0 $
  2. $ 1 - x^{2} = 0 $ → $ x^{2} = 1 $ → $ x = 1 $ ou $ x = -1 $

Passo 4

Agora, precisamos verificar quais desses pontos críticos estão dentro do intervalo [2, 4]. Olhando as soluções:
  • $ x = 0 $ não está no intervalo.
  • $ x = 1 $ também não está no intervalo.
  • $ x = -1 $ não está no intervalo.
Então, não temos nenhum ponto crítico dentro de x = 0 . Isso significa que os possíveis extremos absolutos devem estar nos extremos do intervalo, ou seja, nos valores de $ x = 2 $ e $ x = 4 $.

Passo 5

Vamos calcular o valor da função nesses dois pontos:
Para $ x = 2 $:
x = 2
f(2) = 2 + 2(2)^2 - (2)^4
f(2) = 2 + 2(4) - 16
f(2) = 2 + 8 - 16
Para $ x = 4 $:
f(2) = -6
x = 4
f(4) = 2 + 2(4)^2 - (4)^4
f(4) = 2 + 2(16) - 256

Resposta

No intervalo [2, 4], a função $ f(x) = 2 + 2x^{2} - x^{4} $ possui:
  • Valor mínimo absoluto: $ f(4) = -222 $ em $ x = 4 $.
  • Valor máximo absoluto: $ f(2) = -6 $ em $ x = 2 $.
Como não há pontos críticos dentro do intervalo, esses são os únicos extremos encontrados.

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