Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Encontre os valores extremos absolutos e relativos de
no intervalo
.
Encontre os valores extremos absolutos e relativos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores extremos absolutos e relativos da função $ f(x) = 2 + 2x^{2} - x^{4} $ no intervalo
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre extremos de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos e depois comparar esses valores dentro do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou diminuindo em cada ponto. A derivada também nos ajuda a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos.
A função é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de uma constante, como 2, é 0.
- A derivada de $ 2x^{2} $ é $ 4x $ (usando a regra do poder: multiplicamos o coeficiente pelo expoente e diminuímos o expoente em 1).
- A derivada de $ -x^{4} $ é $ -4x^{3} $.
Então, a derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos para serem máximos ou mínimos.
Temos:
Vamos igualar a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
- $ 4x = 0 $ → $ x = 0 $
- $ 1 - x^{2} = 0 $ → $ x^{2} = 1 $ → $ x = 1 $ ou $ x = -1 $
Passo 4
Agora, precisamos verificar quais desses pontos críticos estão dentro do intervalo
. Olhando as soluções:
- $ x = 0 $ não está no intervalo.
- $ x = 1 $ também não está no intervalo.
- $ x = -1 $ não está no intervalo.
Então, não temos nenhum ponto crítico dentro de
. Isso significa que os possíveis extremos absolutos devem estar nos extremos do intervalo, ou seja, nos valores de $ x = 2 $ e $ x = 4 $.
Passo 5
Vamos calcular o valor da função nesses dois pontos:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 4 $:
Resposta
No intervalo
, a função $ f(x) = 2 + 2x^{2} - x^{4} $ possui:
- Valor mínimo absoluto: $ f(4) = -222 $ em $ x = 4 $.
- Valor máximo absoluto: $ f(2) = -6 $ em $ x = 2 $.
Como não há pontos críticos dentro do intervalo, esses são os únicos extremos encontrados.