Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Encontre o limite lim x infty x sen(pix)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para achar o limite de $ x $ multiplicado pelo seno de $ \frac{\pi}{x} $ quando $ x $ vai para o infinito. Basicamente, queremos saber o que acontece com essa expressão conforme $ x $ fica cada vez maior. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limites e de como a função seno se comporta para ângulos bem pequenos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro do seno: $ \frac{\pi}{x} $. Quando $ x $ tende ao infinito, $ \frac{\pi}{x} $ fica cada vez menor e se aproxima de zero. Então, estamos lidando com o seno de um número que está muito perto de zero.

Passo 3

Sabemos que, quando o ângulo é bem pequeno, o seno desse ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Isso vem da série de Taylor para o seno, que diz que $ \operatorname{sen}(\theta) \approx \theta $ quando $ \theta $ é próximo de zero. Vamos usar essa aproximação aqui.

Passo 4

Aplicando essa ideia ao nosso limite, temos:
sen(pix) approx pix
Então, a expressão do limite fica assim:
limx to infty x cdot pix

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão. O $ x $ no numerador e no denominador se cancelam:
x

Resposta

O limite é $ \pi $.

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