Usando os limites fundamentais, calcule:
lim x p tan (x-p)x^2-p^2 (p neq 0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto ptan(x-p)x^2-p^2, usando limites fundamentais de funções trigonométricas.

Passo 2

Para explorar o comportamento quando xto p, definimos a mudança de variável h = x-p. Assim, quando xto p temos hto 0 e x = p + h.
Reescrevemos o denominador fatorando a diferença de quadrados:
x^2 - p^2 = (x-p)(x+p)

Passo 3

Substituindo x = p+h e a fatoração, a expressão do limite fica:
tan(x-p)x^2-p^2 = tan(h)(h),(2p + h) = tan(h)/h2p + h

Passo 4

Agora usamos o limite fundamental limhto 0 tan(h)h = 1. Além disso, 2p + h tende a 2p quando hto 0.
Portanto,
limxto ptan(x-p)x^2-p^2 = limhto 0 tan(h)/h2p + h = 12p

Resposta

1/(2p)

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