Leia com atenção. Justifique suas respostas. Use palavras para conectar suas ideias.
Encontre a equação da reta tangente a y=sen(x)+sen^2(x) no ponto (0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à função $ y = \sin(x) + \sin^{2}(x) $ no ponto y = sin(x) + sin^2(x) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, em particular, a derivada, que nos ajuda a determinar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Para encontrar a reta tangente, precisamos primeiro calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A função é $ y = \sin(x) + \sin^{2}(x) $. Vamos derivar termo a termo.

Passo 3

Derivando $ \sin(x) $, sabemos que $ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) $.
Agora, para derivar $ \sin^{2}(x) $, usamos a regra da cadeia:
sin(x)

Passo 4

Juntando as derivadas dos termos, temos:
dydx = cos(x) + 2 sin(x) cos(x)

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 0 $ para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
x = 0
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $, então:
x = 0
A inclinação da reta tangente no ponto dydxg|x=0 = cos(0) + 2 sin(0) cos(0) é 1.

Passo 6

Com a inclinação $ m = 1 $ e o ponto m = 1 , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
(0, 0)
Onde $ (x_{0}, y_{0}) = (0, 0) $, então:
y - y0 = m (x - x0)
(x0, y0) = (0, 0)

Resposta

A equação da reta tangente à função $ y = \sin(x) + \sin^{2}(x) $ no ponto y = sin(x) + sin^2(x) é $ y = x $.

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