Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas. Boa Prova!
Encontre a solução geral da equaçãp diferencial de primeira ordem
Encontre a solução geral da equaçãp diferencial de primeira ordem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, que geralmente envolvem encontrar uma função
que satisfaça a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações de Bernoulli, que são um tipo específico de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar a análise. A equação original é:
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
):
Agora, a equação está na forma:
onde
,
e
. Essa é a forma de uma equação de Bernoulli.
Passo 3
Nas equações de Bernoulli, a gente faz uma substituição pra transformar a equação não linear em uma linear. A substituição é:
Como
, temos:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Rearranjando a equação original para expressar
:
Substituindo na expressão de
:
Como
, podemos escrever:
Agora, temos uma equação linear em
:
Passo 4
Para resolver essa equação linear, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos
e
. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Para resolver para
, tiramos o inverso e a raiz quadrada:
Ou, de forma mais elegante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.