Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas. Boa Prova!
Encontre a solução geral da equaçãp diferencial de primeira ordem
y y^prime+y^2-e^x y^5=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem:
y y^prime + y^2 - e^x y^5 = 0
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, que geralmente envolvem encontrar uma função que satisfaça a equação dada. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações de Bernoulli, que são um tipo específico de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar a análise. A equação original é:
y y^prime + y^2 - e^x y^5 = 0
Vamos isolar y y^prime = -y^2 + e^x y^5 :
y'y = -1 + e^x y^3
Dividindo ambos os lados por y' + P(x) y = Q(x) y^n (lembrando que ):
Agora, a equação está na forma:
onde , e . Essa é a forma de uma equação de Bernoulli.

Passo 3

Nas equações de Bernoulli, a gente faz uma substituição pra transformar a equação não linear em uma linear. A substituição é:
v = y^1 - n
Como v = y^-2 , temos:
v' = -2 y^-3 y'
Agora, vamos calcular a derivada de y' = -y + e^x y^4 em relação a v' = -2 y^-3 (-y + e^x y^4) = 2 y^-2 - 2 e^x :
v' = 2 v - 2 e^x
Rearranjando a equação original para expressar v' - 2 v = -2 e^x :
Substituindo na expressão de :
Como , podemos escrever:
Agora, temos uma equação linear em :

Passo 4

Para resolver essa equação linear, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -2 dx = e^-2x e e^-2x v' - 2 e^-2x v = -2 e^-x . O fator integrante ddx (e^-2x v) = -2 e^-x é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx (e^-2x v) dx = integral -2 e^-x dx :
e^-2x v = 2 e^-x + C
Isso nos dá:
v = 2 e^x + C e^2x
Onde é a constante de integração. Agora, isolamos :

Passo 6

Lembrando que y^-2 = 2 e^x + C e^2x , substituímos de volta:
y = 1raiz2 e^x + C e^2x
Para resolver para y(x) = (2 e^x + C e^2x)^-12 , tiramos o inverso e a raiz quadrada:
Ou, de forma mais elegante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = (2 e^x + C e^2x)^-12
onde é uma constante arbitrária.

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