7- Leia atentamente as proposições simples P e Q:P: Humberto foi aprovado no concurso do Banco.Q: Humberto foi aprovado em um concurso.
Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é:
Escolha uma:
a. Se não P, então não Q.
b. Se P, então Q.
c. Se Q, então P.
d. Se P, então não Q.
e. Se não Q, então P.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Proposições simples fornecidas:
    • P: Humberto foi aprovado no concurso do Banco.
    • Q: Humberto foi aprovado em um concurso.
  • O enunciado pede: identificar, entre as alternativas a.–e., qual proposição condicional é correta em relação a P e Q.
As alternativas escritas em forma lógica (tradução):
  • a. Se não P, então não Q. — \neg P \to \neg Q
  • b. Se P, então Q. — P \to Q
  • c. Se Q, então P. — Q \to P
  • d. Se P, então não Q. — P \to \neg Q
  • e. Se não Q, então P. — \neg Q \to P

Passo 2

O que significa uma condicional “Se A, então B” no sentido lógico?
  • A condicional "Se A, então B" é escrita \,A \to B\,.
  • A regra de verdade de \,A \to B\, é: ela é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; nos outros três casos é verdadeira.
  • Vou mostrar a tabela-verdade (de forma simples) para fixar a ideia:
\begin{array}{c c | c} A & B & A \to B\\hline V & V & V\\\ V & F & F\\\ F & V & V\\\ F & F & V \end{array}
  • Intuição prática: “Se chover, então a rua fica molhada.” Essa afirmação é falsa se, de fato, choveu e a rua não ficou molhada (caso em que a implicação falha). Se não choveu, a condicional não é refutada (pode ser verdadeira independentemente).

Passo 3

Interpretando semanticamente P e Q.
  • P afirma algo específico: “Humberto foi aprovado no concurso do Banco” — isso é um caso particular de ter sido aprovado em um concurso.
  • Q afirma algo mais genérico: “Humberto foi aprovado em um concurso” — engloba aprovações em qualquer concurso, inclusive o do Banco.
Por isso, logicamente, se P é verdadeira (ele foi aprovado no concurso do Banco), então necessariamente Q também é verdadeira (porque o concurso do Banco é um concurso). Em símbolos: isso diz que P implica Q, ou seja, P \to Q é correta.

Passo 4

Verificação das demais alternativas por contraprovas (contraexemplos) — mostrar por que são falsas.
  • a. \neg P \to \neg Q (Se não P, então não Q).
    Contraexemplo: Humberto não foi aprovado no concurso do Banco ( \neg P é verdade), mas foi aprovado em outro concurso ( Q é verdade). Nesse caso \neg P é V e \neg Q é F, logo \neg P \to \neg Q seria falsa. Portanto (a) é incorreta.
  • c. Q \to P (Se Q, então P).
    Contraexemplo: Humberto foi aprovado em um concurso qualquer (por exemplo, num concurso municipal), então Q é verdadeira, mas isso não garante que seja exatamente o concurso do Banco; P pode ser falsa. Assim Q \to P pode ser falsa. Logo (c) é incorreta.
  • d. P \to \neg Q (Se P, então não Q).
    Isso contradiz a própria relação de inclusão: se P é verdadeira, Q também é verdadeira (porque ser aprovado no concurso do Banco é um caso de ser aprovado em um concurso). Logo P \to \neg Q seria uma afirmação que diz que algo verdadeiro implica sua negação — impossível aqui. Portanto (d) é falsa.
  • e. \neg Q \to P (Se não Q, então P).
    Tradução: “Se Humberto não foi aprovado em nenhum concurso, então ele foi aprovado no concurso do Banco” — isso é absurdo: não ser aprovado em qualquer concurso não implica que foi aprovado no Banco. Contraexemplo imediato: se ele não foi aprovado em nenhum concurso, então certamente não foi aprovado no concurso do Banco; assim \neg Q verdadeiro e P falso, tornando \neg Q \to P falsa. Portanto (e) é incorreta.

Passo 5

Observação sobre contrapartes lógicas úteis (para a prova):
  • A contrapositiva de P \to Q é \neg Q \to \neg P, que é logicamente equivalente a P \to Q.
    Note que nenhuma das alternativas dadas era exatamente \neg Q \to \neg P; as alternativas (a) e (e) são, respectivamente, a inversa e a recíproca, que em geral NÃO são equivalentes à implicação original. Isso é uma boa coisa para memorizar: só contrapositive == equivalente.

Passo 6

Conclusão final e incentivo rápido: a única alternativa que representa corretamente a relação entre “foi aprovado no concurso do Banco” e “foi aprovado em um concurso” é a implicação do particular para o geral, isto é P \to Q. Você mandou bem em pedir passo a passo — esse tipo de raciocínio aparece bastante em prova e vale decorar: caso particular → caso geral é uma implicação natural.

Resposta

b

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