8- Se Luiz está na escola, então Wilson não está ao telefone e Fábio não ouve música. Se Fábio não ouve música, então Diva pensa que Fábio não veio. Se Diva pensa que Fábio não veio, então ela fica mal-humorada. Diva não está mal-humorada.
A partir dessas informações, é possível concluir, corretamente, que:
Escolha uma:
a. Fábio não ouve música e Diva não pensa que Fábio não veio.
b. Diva pensa que Fábio não veio e Fábio não ouve música.
c. Luiz não está na escola e Diva não pensa que Fábio não veio.
d. Luiz não está na escola e Fábio não ouve música.
e. Luiz está na escola e Fábio ouve música.

Passo 1

Vou traduzir o enunciado em proposições e listar tudo o que foi dado, com clareza (sem resolver ainda).
  • Defino as proposições:
    • \;L: “Luiz está na escola”.
    • \;W: “Wilson está ao telefone”.
    • \;F: “Fábio ouve música”.
    • \;P: “Diva pensa que Fábio não veio”.
    • \;M: “Diva está mal-humorada”.
  • O enunciado nos dá as seguintes fórmulas (peguei-as textualmente do enunciado):
    1. “Se Luiz está na escola, então Wilson não está ao telefone e Fábio não ouve música.” Isso vira L \to (\neg W \land \neg F).
    2. “Se Fábio não ouve música, então Diva pensa que Fábio não veio.” Isso vira \neg F \to P.
    3. “Se Diva pensa que Fábio não veio, então ela fica mal-humorada.” Isso vira P \to M.
    4. “Diva não está mal-humorada.” Isso é a afirmação \neg M.
  • O que o exercício pede: a partir dessas informações, identificar qual das alternativas (a)–(e) é logicamente conseguida. Ou seja, deduzir quais proposições são logicamente verdadeiras dadas as premissas acima.

Passo 2

Explico rapidamente as regras de inferência que vou usar (de forma didática e com exemplos simples).
  • Modus ponens: se A \to B e sabemos A, então podemos afirmar B.
    • Ex.: se “se chover então fica molhado” e sabemos “chove”, então “fica molhado”.
  • Contrapositiva: a implicação A \to B é logicamente equivalente a \neg B \to \neg A. Em palavras: “se A então B” é o mesmo que “se não B então não A”.
    • Ex.: “se sou aluno então tenho matrícula” é equivalente a “se não tenho matrícula então não sou aluno”.
  • Da implicação A \to (B \land C) podemos extrair A \to B e A \to C (porque se A implica a conjunção, então A implica cada parte).
Vou usar só essas regras, passo a passo.

Passo 3

Usar P \to M junto com \neg M.
  • Das premissas temos P \to M e também \neg M.
  • Aplicando a contrapositiva de P \to M, obtemos \neg M \to \neg P.
  • Como sabemos \neg M, por modus ponens com \neg M \to \neg P concluímos \neg P.
  • Interpretação em palavras: se Diva pensa que Fábio não veio então ela ficaria mal-humorada; mas como ela não está mal-humorada, concluímos que ela não pensa que Fábio não veio.

Passo 4

Usar \neg F \to P junto com \neg P.
  • Temos \neg F \to P.
  • A contrapositiva dessa implicação é \neg P \to \neg(\neg F), isto é \neg P \to F.
  • Já obtivemos \neg P no passo anterior; aplicando modus ponens em \neg P \to F com \neg P, obtemos F.
  • Interpretação: Fábio ouve música. Isso acontece porque, se ele não ouvesse música, Diva pensaria que ele não veio; mas já vimos que ela não pensa isso, logo Fábio deve estar ouvindo música.

Passo 5

Usar L \to (\neg W \land \neg F) junto com F.
  • Da implicação L \to (\neg W \land \neg F) podemos extrair em particular L \to \neg F (porque se L implica a conjunção, então implica cada componente).
  • A contrapositiva de L \to \neg F é F \to \neg L.
  • Como já deduzimos F no passo anterior, por modus ponens em F \to \neg L concluímos
    \neg L.
  • Interpretação: Luiz não está na escola. Raciocínio: se Luiz estivesse, então Fábio não ouviria música; mas Fábio ouve música, logo Luiz não está na escola.
  • Observação sobre W (Wilson): das premissas e das deduções nós NÃO podemos inferir nada sobre W (Wilson ao telefone). A implicação original só dava \neg W em caso de L, e como \neg L é verdade, não há informação suficiente para afirmar W nem \neg W.

Passo 6

Resumo das conclusões lógicas alcançadas a partir das premissas:
  • \;F (Fábio ouve música).
  • \;\neg P (Diva não pensa que Fábio não veio).
  • \;\neg L (Luiz não está na escola).
Agora cheque cada alternativa usando esses fatos:
  • a. “Fábio não ouve música e Diva não pensa que Fábio não veio.” Isto seria \neg F \land \neg P. Temos \neg P verdadeiro, mas \neg F é falso (pois \;F é verdadeiro). Logo a alternativa (a) é falsa.
  • b. “Diva pensa que Fábio não veio e Fábio não ouve música.” Isto seria P \land \neg F. Ambos são falsos; logo (b) é falsa.
  • c. “Luiz não está na escola e Diva não pensa que Fábio não veio.” Isto é \neg L \land \neg P. Temos \neg L verdadeiro e \neg P verdadeiro; portanto (c) é verdadeira.
  • d. “Luiz não está na escola e Fábio não ouve música.” Isto seria \neg L \land \neg F. \neg L é verdadeira, mas \neg F é falsa; logo (d) é falsa.
  • e. “Luiz está na escola e Fábio ouve música.” Isto é L \land F. F é verdadeiro, mas L é falso; logo (e) é falsa.
Portanto a única alternativa logicamente consequente das premissas é a alternativa (c).

Resposta

(c)

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