Leite escoando no interior de um resfriador tubular com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm} à uma vazão mássica de 0,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O leite encontra-se no processo à uma temperatura de 49^{\circ} \mathrm{C} e deseja-se resfriá-lo até 18^{\circ} \mathrm{C} empregando água como fluido de resfriamento mantido à uma temperatura constante de 10^{\circ} \mathrm{C} escoando em torno do tubo. Nestas condições, determine qual seria o comprimento do tubo requerido? ( \underline{\mathrm{Obs}} : Assuma que o coeficiente global de troca térmica da água para o leite é 900 \mathrm{~J} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, e que o calor específico do leite é 3890 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. (R: \mathbf{3 4 , 8 ~ m} )

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o comprimento L do tubo necessário para resfriar o leite de 49^\circ\mathrm{C} para 18^\circ\mathrm{C} com água a 10^\circ\mathrm{C} mantida à temperatura constante.
Informações que o enunciado fornece (peguei estes números do enunciado):
  • Diâmetro interno do tubo: D=2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica do leite: \dot{m}=0,4\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura de entrada do leite: T_{m,i}=49^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada do leite: T_{m,o}=18^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do banho de água (constante): T_w=10^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de troca térmica: U=900\\ \mathrm{J\\ m^{-2}\\ s^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}.
  • Calor específico do leite: c_p=3890\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}.
Variável a achar: L (comprimento do tubo).

Passo 2

Modelo físico e ideia geral (passo didático)
  • O leite escoa dentro do tubo e a água fora é mantida a temperatura constante T_w. Para um pequeno segmento de comprimento dx do tubo, o calor removido do leite por unidade de tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o leite naquele ponto e a água. Esse calor remove energia térmica do leite, fazendo sua temperatura variar ao longo do eixo x.
  • Vamos fazer um balanço de energia diferencial no leite ao longo do tubo para obter uma equação diferencial que relaciona a variação de temperatura do leite com x. Depois integramos e achamos a expressão para T_m(x); por fim impomos as condições T_m(0)=T_{m,i} e T_m(L)=T_{m,o} para resolver L.

Passo 3

Balanço de energia diferencial e definição de área
  • Considere um elemento do tubo de comprimento dx. A área de troca térmica desse elemento é dA=P\,dx, onde P é o perímetro do tubo. Como o tubo é cilíndrico,
P=\pi D.
  • O fluxo de calor removido do leite do elemento, por unidade de tempo, é
\dot{Q} = U\,dA\,(T_m-T_w) = U\,P\,dx\,(T_m-T_w),
onde T_m é a temperatura do leite no ponto considerado (função de x).
  • Esse calor retirado provoca uma queda de energia térmica do leite dada por
\dot{Q} = \dot{m}\,c_p\,\frac{dT_m}{dx}\,dx.
  • Atenção ao sinal: se o leite está esfriando então dT_m/dx<0. Igualando os módulos (ou, adotando sinais corretamente), obtemos a equação diferencial:
\dot{m}\,c_p\,\frac{dT_m}{dx} = -U\,P\,(T_m-T_w).

Passo 4

Resolução da equação diferencial (separação de variáveis)
  • Separe variáveis:
\frac{dT_m}{T_m-T_w} = -\frac{U\,P}{\dot{m}\,c_p}\,dx.
  • Integre de x=0 (onde T_m=T_{m,i}) até x=L (onde T_m=T_{m,o}):
\int_{T_{m,i}}^{T_{m,o}} \frac{dT_m}{T_m-T_w} = -\frac{U\,P}{\dot{m}\,c_p}\int_{0}^{L} dx.
  • A integral do lado esquerdo é um logaritmo, portanto:
\ln\!\left(\frac{T_{m,o}-T_w}{T_{m,i}-T_w}\right) = -\frac{U\,P}{\dot{m}\,c_p}\,L.
  • Reorganizando para L:
L = -\frac{\dot{m}\,c_p}{U\,P}\,\ln\!\left(\frac{T_{m,o}-T_w}{T_{m,i}-T_w}\right).
Esta fórmula é a solução exata para o caso em que o fluido externo (água) tem temperatura praticamente constante.

Passo 5

Substituição das expressões e cálculo dos termos numéricos
  • Calcule o perímetro:
P=\pi D=\pi\cdot 0,025\\ \mathrm{m}=\pi\cdot 0,025\\ \mathrm{m}.
  • Calcule o produto \dot{m}\,c_p:
\dot{m}\,c_p = 0,4\\ \mathrm{kg/s}\times 3890\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ ^\circ C^{-1}} = 1556\\ \mathrm{J\\ s^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}.
  • Calcule U\,P:
U\,P = 900\\ \mathrm{J\\ m^{-2}\\ s^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}\times \pi\cdot 0,025\\ \mathrm{m} = 900\pi\cdot 0,025\\ \mathrm{J\\ m^{-1}\\ s^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}.

Passo 6

Valores das diferenças de temperatura e argumento do logaritmo
  • Diferenças em relação à água:
T_{m,i}-T_w = 49-10 = 39\\ ^\circ\mathrm{C}, \qquad T_{m,o}-T_w = 18-10 = 8\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Razão dentro do logaritmo:
\frac{T_{m,o}-T_w}{T_{m,i}-T_w} = \frac{8}{39}\approx 0,205128.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{8}{39}\right)\approx -1{,}5836.

Passo 7

Cálculo final de L
  • Primeiro calcule numericamente a razão \dfrac{\dot{m}\,c_p}{U\,P}:
P=\pi\cdot 0,025\approx 0{,}0785398\\ \mathrm{m},
U\,P \approx 900\times 0{,}0785398 \approx 70{,}6858\\ \mathrm{J\\ m^{-1}\\ s^{-1}\\ ^\circ C^{-1}},
\frac{\dot{m}\,c_p}{U\,P} \approx \frac{1556}{70{,}6858}\approx 22{,}007\\ \mathrm{m}.
  • Agora aplique na fórmula de L:
L = -22{,}007\cdot \ln\!\left(\frac{8}{39}\right) \approx -22{,}007\cdot(-1{,}5836)\approx 34{,}86\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida
  • O comprimento requerido é relativamente grande porque a diferença entre a temperatura de saída desejada do leite e a temperatura do banho é pequena (apenas 8^\circ\mathrm{C}), e a área disponível por metro de tubo (proporcional ao perímetro) é limitada; por isso é necessário um comprimento grande para que a troca térmica remova toda a energia necessária.
  • A conta bate com o resultado de referência fornecido ( 34{,}8\\ \mathrm{m}), mostrando que os cálculos estão consistentes.

Resposta

34,8\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados