Leite escoando no interior de um resfriador tubular com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm} à uma vazão mássica de 0,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O leite encontra-se no processo à uma temperatura de 49^{\circ} \mathrm{C} e deseja-se resfriá-lo até 18^{\circ} \mathrm{C} empregando água como fluido de resfriamento mantido à uma temperatura constante de 10^{\circ} \mathrm{C} escoando em torno do tubo. Nestas condições, determine qual seria o comprimento do tubo requerido? ( \underline{\mathrm{Obs}} : Assuma que o coeficiente global de troca térmica da água para o leite é 900 \mathrm{~J} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, e que o calor específico do leite é 3890 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. (R: \mathbf{3 4 , 8 ~ m} )
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar o comprimento L do tubo necessário para resfriar o leite de 49^\circ\mathrm{C} para 18^\circ\mathrm{C} com água a 10^\circ\mathrm{C} mantida à temperatura constante.
Informações que o enunciado fornece (peguei estes números do enunciado):
Diâmetro interno do tubo: D=2,5\\ \mathrm{cm}=0,025\\ \mathrm{m}.
Vazão mássica do leite: \dot{m}=0,4\\ \mathrm{kg/s}.
Temperatura de entrada do leite: T_{m,i}=49^\circ\mathrm{C}.
Temperatura de saída desejada do leite: T_{m,o}=18^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do banho de água (constante): T_w=10^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente global de troca térmica: U=900\\ \mathrm{J\\ m^{-2}\\ s^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}.
Calor específico do leite: c_p=3890\\ \mathrm{J\\ kg^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}.
Variável a achar: L (comprimento do tubo).
Passo 2
Modelo físico e ideia geral (passo didático)
O leite escoa dentro do tubo e a água fora é mantida a temperatura constante T_w. Para um pequeno segmento de comprimento dx do tubo, o calor removido do leite por unidade de tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o leite naquele ponto e a água. Esse calor remove energia térmica do leite, fazendo sua temperatura variar ao longo do eixo x.
Vamos fazer um balanço de energia diferencial no leite ao longo do tubo para obter uma equação diferencial que relaciona a variação de temperatura do leite com x. Depois integramos e achamos a expressão para T_m(x); por fim impomos as condições T_m(0)=T_{m,i} e T_m(L)=T_{m,o} para resolver L.
Passo 3
Balanço de energia diferencial e definição de área
Considere um elemento do tubo de comprimento dx. A área de troca térmica desse elemento é dA=P\,dx, onde P é o perímetro do tubo. Como o tubo é cilíndrico,
P=\pi D.
O fluxo de calor removido do leite do elemento, por unidade de tempo, é
\dot{Q} = U\,dA\,(T_m-T_w) = U\,P\,dx\,(T_m-T_w),
onde T_m é a temperatura do leite no ponto considerado (função de x).
Esse calor retirado provoca uma queda de energia térmica do leite dada por
\dot{Q} = \dot{m}\,c_p\,\frac{dT_m}{dx}\,dx.
Atenção ao sinal: se o leite está esfriando então dT_m/dx<0. Igualando os módulos (ou, adotando sinais corretamente), obtemos a equação diferencial:
\dot{m}\,c_p\,\frac{dT_m}{dx} = -U\,P\,(T_m-T_w).
Passo 4
Resolução da equação diferencial (separação de variáveis)
L = -22{,}007\cdot \ln\!\left(\frac{8}{39}\right) \approx -22{,}007\cdot(-1{,}5836)\approx 34{,}86\\ \mathrm{m}.
Passo 8
Interpretação e verificação rápida
O comprimento requerido é relativamente grande porque a diferença entre a temperatura de saída desejada do leite e a temperatura do banho é pequena (apenas 8^\circ\mathrm{C}), e a área disponível por metro de tubo (proporcional ao perímetro) é limitada; por isso é necessário um comprimento grande para que a troca térmica remova toda a energia necessária.
A conta bate com o resultado de referência fornecido (34{,}8\\ \mathrm{m}), mostrando que os cálculos estão consistentes.