(Leithold página 970 ) A equação de Laplace em R^2 é
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0
Comprove que u(x, y)=sinh x sin y satisfaz esta equação.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(x,y)=sinh x;sin y
é solução da equação de Laplace em R^2, isto é, que
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0
Aqui vamos usar as definições de derivadas parciais e as propriedades
das funções hiperbólicas sinh e cosh.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de u em relação a x:
u(x,y)=sinh x;sin y Longrightarrow partial upartial x=cosh x;sin y,
pois ddxsinh x=cosh x e sin y é tratado como constante.

Passo 3

Agora a segunda derivada em x:
partial^2 upartial x^2 =partialpartial xl(cosh x;sin yr) =sinh x;sin y,
já que ddxcosh x=sinh x.

Passo 4

Calculemos as derivadas em y. Primeiro
partial upartial y =sinh x;cos y,
pois ddysin y=cos y. Em seguida a segunda derivada:
partial^2 upartial y^2 =partialpartial yl(sinh x;cos yr) =-sinh x;sin y,
já que ddycos y=-sin y.

Passo 5

Somando as duas segundas derivadas obtemos
partial^2 upartial x^2 +partial^2 upartial y^2 =l(sinh x;sin yr) +l(-sinh x;sin yr) =0
Isso prova que u(x,y) satisfaz
partial^2 u/partial x^2+partial^2 u/partial y^2=0.

Resposta

A função u(x,y)=sinh xsin y satisfaz a equação de Laplace em R^2.

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