(Leithold página 970 ) A equação de Laplace em
é
Comprove que
satisfaz esta equação.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
é solução da equação de Laplace em
, isto é, que
Aqui vamos usar as definições de derivadas parciais e as propriedades
das funções hiperbólicas e
.
das funções hiperbólicas
Passo 2
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
pois
e
é tratado como constante.
Passo 3
Agora a segunda derivada em
:
já que
.
Passo 4
Calculemos as derivadas em
. Primeiro
pois
. Em seguida a segunda derivada:
já que
.
Passo 5
Somando as duas segundas derivadas obtemos
Isso prova que
satisfaz
.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace em
.