(Leithold página 971 ) A equação de Laplace em
é
Comprove que
satisfaz esta equação.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz a equação de Laplace em
, isto é,
Para isso, vamos calcular cada derivada segunda e somá-las.
Passo 2
Calculemos as derivadas em
. Usando a regra da cadeia para a exponencial,
e novamente em
,
Passo 3
Agora em
. De forma análoga,
e
Passo 4
Em
, usamos que
e
. Assim,
Passo 5
Somando as três derivadas segundas:
Logo,
.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace em
.