(Leithold página 971 ) A equação de Laplace em R^3 é
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0
Comprove que u(x, y, z)=e^3 x+4 y sin 5 z satisfaz esta equação.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(x,y,z)=e^3x+4ysin 5z
satisfaz a equação de Laplace em R^3, isto é,
partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2+partial^2upartial z^2=0
Para isso, vamos calcular cada derivada segunda e somá-las.

Passo 2

Calculemos as derivadas em x. Usando a regra da cadeia para a exponencial,
partial upartial x =3,e^3x+4ysin 5z,
e novamente em x,
partial^2upartial x^2 =3cdot 3,e^3x+4ysin 5z =9,e^3x+4ysin 5z

Passo 3

Agora em y. De forma análoga,
partial upartial y =4,e^3x+4ysin 5z,
e
partial^2upartial y^2 =4cdot 4,e^3x+4ysin 5z =16,e^3x+4ysin 5z

Passo 4

Em z, usamos que ddzsin5z=5cos5z e ddzcos5z=-5sin5z. Assim,
partial upartial z =e^3x+4ycdot 5cos5z =5,e^3x+4ycos5z,
partial^2upartial z^2 =5,e^3x+4ycdot(-5)sin5z =-25,e^3x+4ysin5z

Passo 5

Somando as três derivadas segundas:
partial^2upartial x^2 +partial^2upartial y^2 +partial^2upartial z^2 =9,e^3x+4ysin5z +16,e^3x+4ysin5z -25,e^3x+4ysin5z =0
Logo, partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2+partial^2upartial z^2=0.

Resposta

A função u(x,y,z)=e^3x+4ysin5z satisfaz a equação de Laplace em R^3.

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