(Leithold página 971 ) A equação de Laplace em coordenadas polares é
Comprove que
, onde
é uma constante, satisfaz esta equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace em coordenadas polares
e pede para verificar que
satisfaz essa equação. Vamos aplicar as regras de derivação de potências e de funções trigonométricas e depois fazer a substituição no PDE.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais em
:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais em
:
Passo 4
Substituir na equação de Laplace:
Agrupando termos em
:
Portanto a soma é zero, e a equação de Laplace fica satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz