(Leithold página 971 ) A equação de Laplace em coordenadas polares é
r^2 partial^2 upartial r^2+r partial upartial r+partial^2 upartial theta^2=0
Comprove que u(r, theta)=r^n sin n theta, onde n é uma constante, satisfaz esta equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace em coordenadas polares
r^2partial^2upartial r^2 ;+; rpartial upartial r ;+; partial^2upartial theta^2 = 0
e pede para verificar que
u(r,theta) = r^n,sin(ntheta)
satisfaz essa equação. Vamos aplicar as regras de derivação de potências e de funções trigonométricas e depois fazer a substituição no PDE.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em r:
u(r,theta) = r^nsin(ntheta)
partial upartial r = partialpartial rl(r^nsin(ntheta)r) = n,r^n-1sin(ntheta),
partial^2upartial r^2 = partialpartial rl(n,r^n-1sin(ntheta)r) = n(n-1),r^n-2sin(ntheta)

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em theta:
partial upartial theta = partialpartial thetal(r^nsin(ntheta)r) = n,r^ncos(ntheta),
partial^2upartial theta^2 = partialpartial thetal(n,r^ncos(ntheta)r) = -,n^2,r^nsin(ntheta)

Passo 4

Substituir na equação de Laplace:
r^2urr + r,ur + uthetatheta = r^2l[n(n-1)r^n-2sin(ntheta)r] + rl[n,r^n-1sin(ntheta)r] - n^2r^nsin(ntheta)
Agrupando termos em r^nsin(ntheta):
= l[n(n-1) + n - n^2r],r^nsin(ntheta) = 0(pois n(n-1)+n-n^2=0)
Portanto a soma é zero, e a equação de Laplace fica satisfeita.

Resposta

A função u(r,theta)=r^nsin(ntheta) satisfaz
r^2urr + r,ur + uthetatheta = 0

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