Questão 11: Considere a reta
r:l x=1 y=-z
e o ponto A=(1,1,1). Determine a equação do plano pi que é paralelo a reta r, passa por A e é tal que a sua reta normal pelo ponto A seja perpendicular e concorrente com a reta r.

Passo 1

O enunciado pede um plano
e (iii) cuja reta normal a seja perpendicular a e ainda intercepte .
Isso envolve conceitos de direção de reta, vetor normal a plano e interseção de retas em .

Passo 2

Escrevemos r em forma paramétrica. Seja tinR tal que
z=t, y=-t, x=1
Um ponto na reta é D=(1,0,0) (tomando t=0) e um vetor diretor é
vr=(0,-1,1)

Passo 3

Para pi ser paralelo a r, seu vetor normal n=(nx,ny,nz) deve satisfazer
ncdot vr=0
Para que a reta normal a pi em A, que tem equação A+s,n, intercepte r, deve haver s,t tais que
A+s,n = D + t,vr

Passo 4

Igualando coordenadas de A+s,n=(1+s,nx,,1+s,ny,,1+s,nz) com D+t,vr=(1,,-t,,t), obtemos:
1.
1 + s,nx = 1
que leva a
s,nx = 0implies nx=0
(não interessa s=0 pois aí não há interseção em ponto de r).
2. Da perpendicularidade ncdot vr=0 vem
0cdot nx + (-1),ny + 1,nz = 0
implies -ny + nz = 0implies nz = ny
Com nx=0 e nz=ny, podemos escolher
n=(0,1,1)

Passo 5

Com n=(0,1,1) e sabendo que pi passa por A=(1,1,1), a equação do plano é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
(0,1,1)cdot(x-1,y-1,z-1)=0
0,(x-1)+(y-1)+(z-1)=0
y+z-2=0

Resposta

A equação de pi é
boxedy+z=2

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