(Leithold página 971) Se for uma função diferenciável da variável , seja e prove que satisfaz a equação

Passo 1

Resumindo, temos u = x^2 + y^2 e uma função diferenciável f(u). Definimos
z = x,y + fl(x^2 + y^2r)
Queremos mostrar que
y,partial zpartial x ;-; x,partial zpartial y ;=; y^2 ;-; x^2
O conteúdo principal aqui é aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais de f(x^2+y^2).

Passo 2

Calculemos partial zpartial x. Como
z = x,y + f(u), u = x^2+y^2,
temos
partial zpartial x = partialpartial x(x,y) + partialpartial xf(u) = y + f'(u),partial upartial x
E
partial upartial x = partialpartial x(x^2+y^2) = 2x,
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partial zpartial x = y + 2x,f'(u)

Passo 3

De modo análogo, para partial zpartial y temos
partial zpartial y = partialpartial y(x,y) + partialpartial yf(u) = x + f'(u),partial upartial y,
e
partial upartial y = 2y,
portanto
partial zpartial y = x + 2y,f'(u)

Passo 4

Agora formamos a combinação pedida:
y,partial zpartial x = yl(y + 2x,f'(u)r) = y^2 + 2x,y,f'(u),
x,partial zpartial y = xl(x + 2y,f'(u)r) = x^2 + 2x,y,f'(u)
Subtraindo, os termos com f'(u) se cancelam:
y,partial zpartial x - x,partial zpartial y = l(y^2 + 2x,y,f'(u)r) - l(x^2 + 2x,y,f'(u)r) = y^2 - x^2

Resposta

y,partial zpartial x - x,partial zpartial y = y^2 - x^2

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