(Leithold página 971) Se
for uma função diferenciável da variável
, seja
e prove que
satisfaz a equação
Passo 1
Resumindo, temos
e uma função diferenciável
. Definimos
Queremos mostrar que
O conteúdo principal aqui é aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais de
.
Passo 2
Calculemos
. Como
temos
E
logo
Passo 3
De modo análogo, para
temos
e
portanto
Passo 4
Agora formamos a combinação pedida:
Subtraindo, os termos com
se cancelam: