Questão 10: Considere a reta r e o plano pi de respectivas equações
x-22=y-2=z-33 e x+y+z=1
Encontre uma equação paramétrica para a reta que é a projeção ortogonal de r sobre pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r e o plano pi cujas equações são
x-22=y-2=z-33 e x+y+z=1
e pede a reta que é a projeção ortogonal de r sobre pi. Para isso vamos parametrizar r e usar a fórmula de projeção de um ponto sobre um plano.

Passo 2

Parametrizamos r tomando o valor comum das três frações como parâmetro t. Isso dá
P(t) = (,2+2t,;2+t,;3+3t,)

Passo 3

A projeção ortogonal de um ponto P sobre o plano picolon x+y+z=1 é
Projpi(P) = P ;-;lang<= P,Nrang<= - d|N|^2;N,
onde N=(1,1,1) é o vetor normal a pi e d=1 é o termo independente da equação x+y+z=d.

Passo 4

Calculamos primeiro
lang<= P(t),Nrang<= =(2+2t)+(2+t)+(3+3t)=7+6t,
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lang<= P(t),Nrang<= - d =6+6t=6(1+t), |N|^2=1^2+1^2+1^2=3
Assim
Q(t)=P(t)-6(1+t)3,(1,1,1) =(2+2t,2+t,3+3t)-2(1+t)(1,1,1)
Fazendo as contas coordenada a coordenada chega-se a
Q(t)=(0,,-t,;1+t)

Passo 5

Portanto a projeção ortogonal de r sobre pi é a reta
x=0, y=-t, z=1+t, tinR

Resposta

x=0,;y=-t,;z=1+t,;tinR

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