Questão 9: Considere as retas r e s dadas pelas equações:
r: x=y2=z s:l x=-4+t y=2+2 t z=t onde t in R
Determine a equação da reta paralela a r e a s, contida no mesmo plano de r e s e que seja eqüidistante de r e de s.

Passo 1

A gente quer encontrar a reta paralela a r e s, dentro do plano que contém essas duas retas, e que esteja equidistante de cada uma (funciona como a “reta do meio”). Vamos usar representação paramétrica, vetor de distância entre retas paralelas e translação de reta.

Passo 2

Parametrizando
tiramos
e em
vemos que ambas têm vetor diretor em (para ) e em .

Passo 3

O vetor de ligação é
AB=(-4,2,0)
Como
ABcdot v =(-4)cdot1+2cdot2+0cdot1 =0,
esse vetor é perpendicular à direção das retas, logo é o segmento de menor distância. Seu comprimento é
|AB| = raiz(-4)^2+2^2+0^2 = 2raiz5

Passo 4

Para ficar no “meio” das duas retas, a gente desloca r pela metade desse vetor, isto é,
m = tfrac12,AB=(-2,1,0)
O novo ponto-base é A'=A+ m =(-2,1,0).

Passo 5

Como a reta procurada tem a mesma direção (1,2,1) e passa por A', sua parametrização é
Lcolon (x,y,z)=(-2,1,0)+t,(1,2,1), tinR
Em forma simétrica:
x+21 ;=; y-12 ;=; z1

Resposta

Lcolon (x,y,z)=(-2,1,0)+t(1,2,1), tinR

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