Lembrando que uma bandeira é uma sequência estritamente crescente de subespaços encaixantes
, e que uma bandeira é dita maximal em
se
e se nenhum subespaço
puder ser inserido entre
e
, ou seja se
então
ou
:
a Prove que se
uma bandeira maximal para
e 0 e
uma bandeira maximal para
mostre que
é bandeira maximal para
. Conclua que dimensão da soma direta de espaços vetoriais de dimensão finita tem dimensão finita igual a soma das dimensões.
ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA
b Seja
uma bandeira (não necessariamente finita) maximal para
. Prove sem usar lema de Zorn que
possui base.
a Prove que se
Passo 1
O enunciado trata de bandeiras (filtrações) de subespaços e pede, na parte (a), para mostrar que, dadas duas bandeiras maximais finitas em W₁ e W₂, a sequência obtida pela concatenação via soma direta é uma bandeira maximal em V=W₁⊕W₂ e daí concluir que dim(V)=dim(W₁)+dim(W₂). Na parte (b) precisamos, sem usar Zorn, mostrar que uma bandeira maximal (não necessariamente finita) em V produz uma base de V. Vamos usar que em bandeira maximal cada inclusão aumenta a dimensão em exatamente 1 e que a união da bandeira é todo V.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que a sequência proposta é mesmo uma bandeira em V=W₁⊕W₂ e que todas as inclusões são estritamente crescentes. Como 0=V₀⊂⋯⊂Vₙ=W₁ e 0=L₀⊂⋯⊂Lₘ=W₂, para cada k temos Vₙ⊕L_{k–1}⊊Vₙ⊕L_k. Logo
Passo 3
Resposta
Parte (a): A sequência
$$0\subsetneq V_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{n}\subsetneq V_{n}\oplus L_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{n}\oplus L_{m}=W_{1}\oplus W_{2}=V
Parte (b): Para cada inclusão estrita F_{i–1}⊊F_{i} num flag maximal em V, escolhemos um vetor v_{i}\in F_{i}\setminus F_{i–1}. A família {v_{i}} é linearmente independente (cada v_{i} não pode ser combinação dos anteriores) e gera V (já que ⋃F_{i}=V). Logo {v_{i}} é uma base de V, sem recorrer ao lema de Zorn.