Lembrando que uma bandeira é uma sequência estritamente crescente de subespaços encaixantes L0 subset L1 subset ldots subset Ln ldots, e que uma bandeira é dita maximal em V se L0=0, cup Li=V e se nenhum subespaço M puder ser inserido entre Li e Li+1, ou seja se Li subset M subset Li+1 então M=Li ou M=Li+1 :
a Prove que se 0=V0 subsetneq V1 subsetneq ldots subsetneq Vn=W1 uma bandeira maximal para W1 e 0 e 0=L0 subsetneq L1 subsetneq ldots subsetneq Lm=W2 uma bandeira maximal para W2 mostre que
0 subsetneq V0 subsetneq V1 subsetneq ldots subsetneq Vn subsetneq Vn oplus L1 subsetneq Vn oplus L2 ldots subsetneq Vn oplus Lm=W1 oplus W2=V
é bandeira maximal para V=W1 oplus W2. Conclua que dimensão da soma direta de espaços vetoriais de dimensão finita tem dimensão finita igual a soma das dimensões.

ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA

b Seja 0 subsetneq F0 subsetneq F1 subsetneq ldots subsetneq Fn subsetneq ldots subset V uma bandeira (não necessariamente finita) maximal para V. Prove sem usar lema de Zorn que V possui base.

Passo 1

O enunciado trata de bandeiras (filtrações) de subespaços e pede, na parte (a), para mostrar que, dadas duas bandeiras maximais finitas em W₁ e W₂, a sequência obtida pela concatenação via soma direta é uma bandeira maximal em V=W₁⊕W₂ e daí concluir que dim(V)=dim(W₁)+dim(W₂). Na parte (b) precisamos, sem usar Zorn, mostrar que uma bandeira maximal (não necessariamente finita) em V produz uma base de V. Vamos usar que em bandeira maximal cada inclusão aumenta a dimensão em exatamente 1 e que a união da bandeira é todo V.

Passo 2

Primeiro vamos verificar que a sequência proposta é mesmo uma bandeira em V=W₁⊕W₂ e que todas as inclusões são estritamente crescentes. Como 0=V₀⊂⋯⊂Vₙ=W₁ e 0=L₀⊂⋯⊂Lₘ=W₂, para cada k temos Vₙ⊕L_{k–1}⊊Vₙ⊕L_k. Logo

Passo 3

Resposta

Parte (a): A sequência
$$0\subsetneq V_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{n}\subsetneq V_{n}\oplus L_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{n}\oplus L_{m}=W_{1}\oplus W_{2}=V
0subsetneq V0subsetneq cdots subsetneq Vnsubsetneq Vnoplus L1subsetneq cdots subsetneq Vnoplus Lm=W1oplus W2=V éõãéããçáá\dim(V)=n+m=\dim(W_{1})+\dim(W_{2}).$$
Parte (b): Para cada inclusão estrita F_{i–1}⊊F_{i} num flag maximal em V, escolhemos um vetor v_{i}\in F_{i}\setminus F_{i–1}. A família {v_{i}} é linearmente independente (cada v_{i} não pode ser combinação dos anteriores) e gera V (já que ⋃F_{i}=V). Logo {v_{i}} é uma base de V, sem recorrer ao lema de Zorn.

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