Calcular a distancia da origem O à reta r de equação lx-y-z=0 x+2 y-z=10.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância de O = (0,0,0) até a reta r dada pela interseção dos planos
P₁: x − y − z = 0 e
P₂: x + 2y − z = 10.
O conteúdo que vamos usar é geometria vetorial: produto vetorial para achar o vetor diretor da reta e a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano:
n1 = (1,-1,-1) a partir de x − y − z = 0 e
n2 = (1,2,-1) a partir de x + 2y − z = 10.
O vetor diretor d da reta é o produto vetorial
d = n1 times n2 = i & j & k 1 & -1 & -1 1 & 2 & -1 = (3,0,3)

Passo 3

Para achar um ponto A na reta, basta resolver o sistema dos dois planos. Escolhemos z = 0 e temos:
x - y = 0, x + 2y = 10
Daí x = y e 3y = 10, logo y = 10/3 e x = 10/3. Assim
A = l(10/3,;10/3,;0r)

Passo 4

Agora usamos a fórmula da distância de O à reta r:
dist(O,r) = |OA times d||d|
Temos OA = (10/3,10/3,0) e d = (3,0,3).
Calculando o produto vetorial:
OA times d = i & j & k 10/3 & 10/3 & 0 3 & 0 & 3 = (10, -10, -10)
A norma desse vetor é |(10,-10,-10)| = 10raiz3 e |d| = 3raiz2. Portanto:
dist(O,r) = 10raiz33raiz2 = 5raiz63

Resposta

5raiz63

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