Calcular a distancia da origem à reta de equação .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a distância de O = (0,0,0) até a reta r dada pela interseção dos planos
P₁: x − y − z = 0 e
P₂: x + 2y − z = 10.
O conteúdo que vamos usar é geometria vetorial: produto vetorial para achar o vetor diretor da reta e a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Extraímos os vetores normais de cada plano: a partir de x − y − z = 0 e a partir de x + 2y − z = 10.
O vetor diretor da reta é o produto vetorial
Passo 3
Para achar um ponto A na reta, basta resolver o sistema dos dois planos. Escolhemos z = 0 e temos:
x - y = 0, x + 2y = 10
Daí x = y e 3y = 10, logo y = 10/3 e x = 10/3. Assim
A = l(10/3,;10/3,;0r)
Passo 4
Agora usamos a fórmula da distância de O à reta r:
dist(O,r) = |OA times d||d|
Temos OA = (10/3,10/3,0) e d = (3,0,3).
Calculando o produto vetorial:
OA times d = i & j & k 10/3 & 10/3 & 0 3 & 0 & 3 = (10, -10, -10)
A norma desse vetor é |(10,-10,-10)| = 10raiz3 e |d| = 3raiz2. Portanto: