Sejam
& f1(x)=-16(x-1)(x-2)(x-3), & f2(x)=12 x(x-2)(x-3), & f3(x)=-12 x(x-1)(x-3), & f4(x)=16 x(x-1)(x-2)
a Prove que R(3)[x] é uma base para g(X) in R(3)[x].
b Se lg(0) g(1) g(2) g(3), prove que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto f1,f2,f3,f4 é base de R3[x] e que, para todo gin R3[x], as coordenadas de g nessa base são exatamente (g(0),g(1),g(2),g(3)). Vamos usar a ideia de polinômios de Lagrange e da aplicação de avaliação.

Passo 2

Definimos a aplicação linear de avaliação Phi: R3[x]to R^4 por
Phi(p)=l(p(0),p(1),p(2),p(3)r)
Note que um polinômio de grau ≤3 que tem quatro raízes distintas é o polinômio nulo. Então Phi é injetora e, como os domínios têm a mesma dimensão 4, é um isomorfismo.

Passo 3

Observe que cada fi é justamente o polinômio de Lagrange que vale 1 num nó e 0 nos outros: para i=1,2,3,4 temos
Phi(fi)=ei,
o vetor canônico de R^4. Da injetividade, isso mostra que não existe combinação linear não trivial que anule todos os fi, logo são linearmente independentes. Como são 4 vetores num espaço de dimensão 4, formam base.

Passo 4

Para qualquer gin R3[x], pela inversa de Phi escrevemos
g(x)=g(0),f1(x)+g(1),f2(x)+g(2),f3(x)+g(3),f4(x)
Isso mostra que as coordenadas de g na base f1,f2,f3,f4 são exatamente
(g(0),g(1),g(2),g(3)).

Resposta

B é base de R3[x] e, para todo gin R3[x], vale [g]B=(g(0),,g(1),,g(2),,g(3))^T.

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