Lembrando que (e^x)^prime=e^x,(sen x)^prime=cos x e (cos x)^prime=-sen x, calcule as derivadas das funções:
f(x)=tan x=sen xcos x;

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=tan x=senxcos x. O conteúdo principal aqui é a derivada de quociente, e vamos precisar da regra do quociente e das derivadas de senx e cos x.

Passo 2

Identificamos u(x)=senx e v(x)=cos x. Suas derivadas são u'(x)=cos x e v'(x)=-senx. Aplicando a regra do quociente:
gl(uvgr)'=u'v - u v'v^2,
obtemos
f'(x)=cos xcdotcos x - senxcdot(-senx)cos^2 x=cos^2 x + sen^2 xcos^2 x

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica cos^2 x + sen^2 x = 1, simplificamos para
f'(x)=1cos^2 x,
o que também pode ser escrito como sec^2 x.

Resposta

f’(x) = sec^2 x

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