Utilize coordenadas esféricas e calcule as integrais:
integral duplaR e^raizx^2+y^2+z^2 d V onde R está delimitada pela esfera x^2+y^2+z^2=9 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral da função e^raizx^2+y^2+z^2 sobre a região R que é a parte da bola de raio 3 no primeiro octante. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas esféricas, onde precisamos usar o Jacobiano rho^2sinphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. No primeiro octante temos
rhoin[0,3], phiin[0,tfracpi2] e thetain[0,tfracpi2]. Além disso raizx^2+y^2+z^2=rho e o elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 3

Substituindo tudo no integral triplo, obtemos
integral triplaR e^raizx^2+y^2+z^2,dV = integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2integralrho=0^3 e^rho,rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta
Como a parte angular separa, fazemos primeiro
integral0^pi/2dtheta ;times; integral0^pi/2sinphi,dphi = pi2timesl[-cosphir]0^pi/2 =pi2times1 =pi2

Passo 4

Fica então
integral triplaR e^rho,dV =pi2 integral0^3e^rho,rho^2,drho
Agora precisamos calcular
integral0^3e^rho,rho^2,drho.

Passo 5

Para integral e^rho,rho^2,drho usamos integração por partes duas vezes. Seja u=rho^2, dv=e^rhodrho, então du=2rho,drho, v=e^rho. Temos
integral e^rhorho^2,drho =e^rhorho^2 -integral e^rho,2rho,drho
Aplicando outra vez por partes em integral e^rhorho,drho com u=rho, dv=e^rhodrho, resulta
integral e^rhorho,drho=e^rhorho - e^rho. Logo
integral e^rho,rho^2,drho =e^rhorho^2 -2l(e^rhorho - e^rhor) =e^rho(rho^2-2rho+2)

Passo 6

Avaliamos de 0 a 3:
integral0^3e^rho,rho^2,drho =l[e^rho(rho^2-2rho+2)r]0^3 =e^3(9-6+2)-l(e^0(0-0+2)r) =5e^3-2
Logo o integral total é
integral triplaRe^raizx^2+y^2+z^2,dV =pi2l(5e^3-2r)

Resposta

pi2,(5e^3-2)

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