Utilize coordenadas esféricas e calcule as integrais:
onde
está delimitada pela esfera
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral da função
sobre a região
que é a parte da bola de raio
no primeiro octante. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas esféricas, onde precisamos usar o Jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
e
. No primeiro octante temos
,
e
. Além disso
e o elemento de volume é
.
Passo 3
Substituindo tudo no integral triplo, obtemos
Como a parte angular separa, fazemos primeiro
Passo 4
Fica então
Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Para
usamos integração por partes duas vezes. Seja
,
, então
,
. Temos
Aplicando outra vez por partes em
com
,
, resulta
. Logo
Passo 6
Avaliamos de
a
:
Logo o integral total é