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Lembrando da fórmula de transformada de derivadas,
Lf^(n)(t)=s^n Lf(t)-s^n-1 f(0)-s^n-2 f^prime(0)-cdots-f^n-1(0),
calcule
(a) Lk t cos k t+sin k t (Sugestão: perceba que k t cos k t+sin k t é a derivada de t sin k t )

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de k t cos(k t)+sin(k t). O conteúdo é a propriedade da transformada de derivadas e também a propriedade de multiplicação por t. Vamos usar: Lf'(t)=s,Lf(t)-f(0) e Lt,f(t)=-ddsl[Lf(t)r].

Passo 2

Perceba que k t cos(k t)+sin(k t) é justamente a derivada de f(t)=tsin(k t). Logo, usemos a fórmula de derivada:
Lk t cos(k t)+sin(k t);=;Lf'(t);=;s,Lf(t)-f(0)
Aqui f(0)=0, pois f(0)=0cdotsin0=0. Então fica
Lk t cos(k t)+sin(k t)=s,Ltsin(k t)

Passo 3

Agora calculamos Ltsin(k t). Sabemos que Lsin(k t)=ks^2+k^2. Aplicando Lt f(t)=-dds[Lf(t)],
$$\mathcal{L}{t\sin(k t)}=-\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{k}{s2+k2}\Bigr)
=\frac{2 s k}{(s2+k2)^2}.$$

Passo 4

Por fim, substituindo de volta:
$$\mathcal{L}{k t \cos(k t)+\sin(k t)}=s\cdot\frac{2 s k}{(s2+k2)^2}
=\frac{2k,s2}{(s2+k2)2}.$$

Resposta

2k,s^2(s^2+k^2)^2

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