Seja um campo vetorial contínuo em uma superfície compacta . Mostre que ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial contínuo definido em uma superfície compacta . Precisamos mostrar que a magnitude da integral de sobre é menor ou igual ao produto do máximo da norma de em pela área de . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfícies e normas de vetores.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a integral de superfície. A integral pode ser expressa como , onde é o vetor normal unitário à superfície e é o elemento de área. Isso porque representa o vetor área, que é igual ao normal unitário multiplicado pelo elemento de área.
Passo 3
Agora, aplicamos a desigualdade triangular para integrais. A magnitude da integral de um vetor é sempre menor ou igual à integral da magnitude do vetor. Assim, temos:
| integralS F cdot N , dsigma | <= integralS | F cdot N | , dsigma
Isso nos permite separar a integral da magnitude do produto interno.
Passo 4
Sabemos que o valor absoluto do produto interno |F cdot N| <= |F| cdot |N| é menor ou igual ao produto das normas de |F cdot N| <= |F| e :
Como é um vetor unitário, . Portanto:
Passo 5
Substituindo essa desigualdade na integral, temos:
Agora, o máximo da norma de integralS |F| , dsigma <= ( maxX in S |F(X)| ) integralS 1 , dsigma em , denotado por , pode ser tirado para fora da integral porque é uma constante em relação à integração:
Passo 6
A integral ( maxX in S |F(X)| ) integralS 1 , dsigma = ( maxX in S |F(X)| ) S representa a área total de , que chamamos de . Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que:
| integralS F cdot dS | = | integralS F cdot N , dsigma | <= ( maxX in S |F(X)| ) S