Seja F um campo vetorial contínuo em uma superfície compacta S. Mostre que |integralS F cdot d S|=|integralS F cdot N d sigma| <=(max X in S|F(X)|) S;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial contínuo definido em uma superfície compacta . Precisamos mostrar que a magnitude da integral de sobre é menor ou igual ao produto do máximo da norma de em pela área de . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfícies e normas de vetores.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a integral de superfície. A integral pode ser expressa como , onde é o vetor normal unitário à superfície e é o elemento de área. Isso porque representa o vetor área, que é igual ao normal unitário multiplicado pelo elemento de área.

Passo 3

Agora, aplicamos a desigualdade triangular para integrais. A magnitude da integral de um vetor é sempre menor ou igual à integral da magnitude do vetor. Assim, temos:
| integralS F cdot N , dsigma | <= integralS | F cdot N | , dsigma
Isso nos permite separar a integral da magnitude do produto interno.

Passo 4

Sabemos que o valor absoluto do produto interno |F cdot N| <= |F| cdot |N| é menor ou igual ao produto das normas de |F cdot N| <= |F| e :
Como é um vetor unitário, . Portanto:

Passo 5

Substituindo essa desigualdade na integral, temos:
integralS |F cdot N| , dsigma <= integralS |F| , dsigma
Agora, o máximo da norma de integralS |F| , dsigma <= ( maxX in S |F(X)| ) integralS 1 , dsigma em , denotado por , pode ser tirado para fora da integral porque é uma constante em relação à integração:

Passo 6

A integral ( maxX in S |F(X)| ) integralS 1 , dsigma = ( maxX in S |F(X)| ) S representa a área total de , que chamamos de . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:
| integralS F cdot dS | = | integralS F cdot N , dsigma | <= ( maxX in S |F(X)| ) S

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