Seja F um campo vetorial contínuo em uma superfície compacta S. Se S se contrai a um ponto X0 de tal modo que sigma(S) tende para zero, então
lim sigma(S) 0 1S integralS F cdot d S=F(X0) cdot N0
onde N0 é o vetor normal unitário de S em X0;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma superfície compacta S vai “encolhendo” até um ponto X₀ (isto é, sua área σ(S)→0) e F é um campo vetorial contínuo em S, então a média do fluxo de F por S tende a F(X₀)·N₀, onde N₀ é o vetor normal unitário em X₀. O conteúdo aqui é o teorema do valor médio para integrais de superfície, usando continuidade de F e da normal para controlar o erro.

Passo 2

Como F é contínua em X₀, para dado ε>0 existe δ₁>0 tal que para todo X∈S com dist(X,X₀)<δ₁ vale |F(X) - F(X₀)| < ε. Como S contrai a X₀ e sua área σ(S)→0, para S suficientemente pequena temos S contida na bola de raio δ₁ em torno de X₀, garantindo |F(X) - F(X₀)| < ε em toda S.
Além disso, assumindo que S é suave, o vetor normal unitário N(X) varia continuamente com X. Logo, existe δ₂>0 tal que, para dist(X,X₀)<δ₂, vale |N(X) - N₀| < ε/ (1 + |F(X₀)|). Novamente, para S pequena o diâmetro de S é menor que δ₂, de forma que esta desigualdade segure em toda S.

Passo 3

Agora decomponho o fluxo médio e uso desigualdade triangular:
1sigma(S)integralS Fcdot N,dS - F(X₀)cdot N₀ = 1sigma(S)integralSl[F(X)cdot N(X)-F(X₀)cdot N₀r]dS
Posso escrever
F(X)cdot N(X)-F(X₀)cdot N₀ = [F(X)-F(X₀)]cdot N(X) + F(X₀)cdot [N(X)-N₀],
e então estimar cada termo em módulo usando as cotas de continuidade acima.

Passo 4

Aplicando as cotas e dividindo por σ(S) obtemos
l|1sigma(S)integralS Fcdot N,dS - F(X₀)cdot N₀r| <= supS|F(X)-F(X₀)| + |F(X₀)|supS|N(X)-N₀| < ε + ε = 2ε
Bastando escolher ε/2 em vez de ε no início, o limite fica menor que ε qualquer. Portanto

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