Seja
um campo vetorial contínuo em uma superfície compacta
. Se
se contrai a um ponto
de tal modo que
tende para zero, então
onde
é o vetor normal unitário de
em
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma superfície compacta S vai “encolhendo” até um ponto X₀ (isto é, sua área σ(S)→0) e F é um campo vetorial contínuo em S, então a média do fluxo de F por S tende a F(X₀)·N₀, onde N₀ é o vetor normal unitário em X₀. O conteúdo aqui é o teorema do valor médio para integrais de superfície, usando continuidade de F e da normal para controlar o erro.
Passo 2
Como F é contínua em X₀, para dado ε>0 existe δ₁>0 tal que para todo X∈S com dist(X,X₀)<δ₁ vale
. Como S contrai a X₀ e sua área σ(S)→0, para S suficientemente pequena temos S contida na bola de raio δ₁ em torno de X₀, garantindo
em toda S.
Além disso, assumindo que S é suave, o vetor normal unitário N(X) varia continuamente com X. Logo, existe δ₂>0 tal que, para dist(X,X₀)<δ₂, vale . Novamente, para S pequena o diâmetro de S é menor que δ₂, de forma que esta desigualdade segure em toda S.
Além disso, assumindo que S é suave, o vetor normal unitário N(X) varia continuamente com X. Logo, existe δ₂>0 tal que, para dist(X,X₀)<δ₂, vale
Passo 3
Agora decomponho o fluxo médio e uso desigualdade triangular:
Posso escrever
e então estimar cada termo em módulo usando as cotas de continuidade acima.
Passo 4
Aplicando as cotas e dividindo por σ(S) obtemos
Bastando escolher ε/2 em vez de ε no início, o limite fica menor que ε qualquer. Portanto