Seja f: R-2 R-3 a função definida por f(x)=3 x-5x-2. Mostre que f é uma bijeção e obtenha a expressão para sua inversa.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f:Rsetminus2toRsetminus3 dada por f(x)=3x-5x-2. O conteúdo é bijeção de funções e vamos precisar mostrar injetividade e sobrejetividade para depois achar a inversa.

Passo 2

Para provar injetividade, suponha que f(x1)=f(x2). Então
3x1-5x1-2=3x2-5x2-2Multiplicando em cruz, (3x1-5)(x2-2)=(3x2-5)(x1-2)Expandindo cada lado, temos 3x1x2-6x1-5x2+10=3x1x2-6x2-5x1+10Cancelando 3x1x2 e +10 de ambos os lados e agrupando termos, -6x1-5x2=-6x2-5x1\Longrightarrow -6x_1+5x_1=-6x_2+5x_2 Longrightarrow -x1=-x2\Longrightarrow x_1=x_2.$$Logo, é injetiva.

Passo 3

Para provar sobrejetividade, tomamos um valor qualquer yinRsetminus3 e resolvemos y=3x-5x-2Multiplicando em cruz, y(x-2)=3x-5 yx-2y=3x-5Reagrupando os termos com x, yx-3x=2y-5 x(y-3)=2y-5Como yneq3, podemos dividir por y-3 e obter x=2y-5y-3Precisamos verificar que esse x encontrado não é 2, para pertencer ao domínio. Se fosse, 2y-5y-3=2implicaria 2y-5=2y-6, ou -5=-6, absurdo. Portanto xneq2.Assim, para todo yneq3 existe x=2y-5y-3neq2 tal que f(x)=y, mostrando sobrejetividade.

Passo 4

Como f é injetiva e sobrejetiva, é bijetiva, e a inversa vem da relação que achamos: f^-1(y)=2y-5y-3

Resposta

A função é bijetiva e a inversa é
f^-1(x)=2x-5x-3

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