Seja
a função definida por
. Mostre que
é uma bijeção e obtenha a expressão para sua inversa.
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
dada por
. O conteúdo é bijeção de funções e vamos precisar mostrar injetividade e sobrejetividade para depois achar a inversa.
Passo 2
Para provar injetividade, suponha que
. Então
Passo 3
Para provar sobrejetividade, tomamos um valor qualquer
e resolvemos
Multiplicando em cruz,
Reagrupando os termos com
,
Como
, podemos dividir por
e obter
Precisamos verificar que esse
encontrado não é
, para pertencer ao domínio. Se fosse,
implicaria
, ou
, absurdo. Portanto
.Assim, para todo
existe
tal que
, mostrando sobrejetividade.
Passo 4
Como
é injetiva e sobrejetiva, é bijetiva, e a inversa vem da relação que achamos:
Resposta
A função é bijetiva e a inversa é