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Lembrando do Teorema de Convolução,
Lf * g=Lf(t) Lg(t)
e de sua forma inversa,
L^-1Lf(t) cdot Lg(t)=f * g,
calcule
(a) Lintegral0^t x^3 cos (t-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
integral0^t x^3 cos(t-x),dx
Esse integral é um caso clássico de convolução de duas funções: f(x)=x³ e g(x)=cos x. O conteúdo é o Teorema da Convolução em Laplace, que diz que
Lf*g=Lf(s),Lg(s)
Vamos precisar das transformadas de Laplace de f(x)=x³ e g(x)=cos t.

Passo 2

Para f(x)=x³ e g(t)=cos t, usamos as fórmulas conhecidas de Laplace. Aplicando a definição, temos:
Lx^3 = 3!s^4 = 6s^4
Lcos t = ss^2+1

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução, a transformada desejada é o produto dessas duas:
Llintegral0^t x^3cos(t-x),dxr = 6s^4 cdot ss^2+1 = 6s^3(s^2+1)

Resposta

6s^3,(s^2+1)

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