Diferencie as seguintes funções em relação a x, usando a Regra da Cadeia e os resultados do exercício anterior:
(a) f(x)=ln (cos x);
(b) f(x)=(ln x)^2 / 3;
(c) f(x)=ln (2 x+3raizx).

Passo 1

Resumindo, queremos diferenciar em relação a x as funções dadas usando a Regra da Cadeia e sabendo que
ddx[ln u(x)] = u'(x)u(x), ddx[cos x] = -sin x, ddx[u(x)^a] = a,u(x)^a-1u'(x)

Passo 2

Para (a) f(x)=ln(cos x), definimos u(x)=cos x. Então
f(x)=ln(u(x)), u'(x)=-sin x,
e pela Regra da Cadeia
f'(x)=u'(x)u(x)=-sin xcos x=-tan x

Passo 3

Para (b) f(x)=(ln x)^2/3, definimos u(x)=ln x. Então
f(x)=u(x)^2/3, u'(x)=1x,
e pela Regra da Cadeia
f'(x)=23,u(x)^-1/3,u'(x) =23(ln x)^-1/3cdot1x =23x(ln x)^1/3

Passo 4

Para (c) f(x)=ln!l(tfrac2x+3raizxr), usamos logaritmo de quociente:
f(x)=ln(2x+3)-ln(x^1/2) =ln(2x+3)-tfrac12ln x
Derivando cada termo,
ddx[ln(2x+3)]=22x+3, ddxl[-tfrac12ln xr]=-12cdot1x=-12x,
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f'(x)=22x+3-12x =4x-(2x+3)2x(2x+3) =2x-32x(2x+3)

Resposta

(a) f'(x)=-tan x
(b) f'(x)=23x(ln x)^1/3
(c) f'(x)=22x+3-12x=2x-32x(2x+3)

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