Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de P(R) são linearmente dependentes:
(c) p=1, q=-1+t, r=1+t+t^2, s=-1+t-t^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios \r
p=1, q=-1+t, r=1+t+t^2 e s=-1+t-t^2 \r
é linearmente dependente em P(R). \r
Conteúdo: dependência linear em espaço de dimensão 3 (base canônica 1,t,t^2). Vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se surge solução não trivial.

Passo 2

Escrevemos cada polinômio em coordenadas na base 1,t,t^2: \r
p=(1,0,0), q=(-1,1,0), r=(1,1,1), s=(-1,1,-1). \r
Procuramos escalares alpha,beta,gamma,de<a tais que\r
alphap+betaq+gammar+de<as=(0,0,0)

Passo 3

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema\r
alpha - beta + gamma - de<a = 0, beta + gamma + de<a = 0, gamma - de<a = 0

Passo 4

Da terceira equação gamma-de<a=0 segue de<a=gamma. \r
Substituindo na segunda beta+gamma+gamma=0 beta=-2gamma. \r
Na primeira, alpha-(-2gamma)+gamma-gamma=0 implica alpha=-2gamma. \r
Logo existe solução não trivial \r
(alpha,beta,gamma,de<a)=gamma(-2,-2,1,1), \r
por exemplo escolhendo gamma=1 temos \r
-2,p;-;2,q;+;r;+;s=0

Passo 5

Como encontramos relação linear não trivial, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto p,q,r,s é linearmente dependente (por exemplo -2p-2q+r+s=0).

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