Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de são linearmente dependentes:
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios \r , , e \r
é linearmente dependente em . \r
Conteúdo: dependência linear em espaço de dimensão 3 (base canônica ). Vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se surge solução não trivial.
Passo 2
Escrevemos cada polinômio em coordenadas na base : \r , , , . \r
Procuramos escalares tais que\r
Passo 3
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema\r
Passo 4
Da terceira equação gamma-de<a=0 segue de<a=gamma. \r
Substituindo na segunda beta+gamma+gamma=0 dá beta=-2gamma. \r
Na primeira, alpha-(-2gamma)+gamma-gamma=0 implica alpha=-2gamma. \r
Logo existe solução não trivial \r
(alpha,beta,gamma,de<a)=gamma(-2,-2,1,1), \r
por exemplo escolhendo gamma=1 temos \r
-2,p;-;2,q;+;r;+;s=0
Passo 5
Como encontramos relação linear não trivial, o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto p,q,r,s é linearmente dependente (por exemplo -2p-2q+r+s=0).