Lembrando do Teorema de Convolução,
Lf * g=Lf(t) Lg(t)
e de sua forma inversa,
L^-1Lf(t) cdot Lg(t)=f * g,
calcule
(b) L^-11(s+1)(s-2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular L^-11/((s+1)(s-2)) usando o teorema da convolução. O conteúdo envolve transformada inversa de Laplace por produto de transformadas e vamos precisar da definição de convolução entre duas funções cuja transformada de Laplace se multiplica.

Passo 2

Reconhecemos que Le^-t=1/(s+1) e Le^2t=1/(s-2). Assim podemos escrever
1(s+1)(s-2)=Le^-tcdotLe^2t

Passo 3

Pelo teorema da convolução temos
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau
com f(tau)=e^-tau e g(t-tau)=e^2(t-tau). Então
(f*g)(t)=integral0^te^-tau,e^2(t-tau),dtau

Passo 4

Dentro da integral aparece
e^-taue^2(t-tau)=e^2te^-3tau,
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integral0^te^-taue^2(t-tau),dtau=e^2tintegral0^te^-3tau,dtau=e^2t[-13e^-3tau]0^t=e^2t3(1-e^-3t)
Reescrevendo fica
.

Resposta

13l(e^2t-e^-tr)

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