Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Equações Diferenciais B
. Semestre de 2022 -
. Prova
4 de maio de 2022 - 14:55-16:35
Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1: [8 pontos] Considere a função
periódica de período
, ímpar, definida no intervalo
por
b) [1 ponto] Explique intuitivamente o mecanismo que permite que uma série de Fourier convirja para uma função descontínua, apesar das somas parciais de uma série de Fourier serem infinitamente diferenciáveis.
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Equações Diferenciais B
4 de maio de 2022 - 14:55-16:35
Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1: [8 pontos] Considere a função
Passo 1
O enunciado de b) nos pede para entender por que a série de Fourier de uma função descontínua pode convergir a essa função, mesmo que cada soma parcial seja um polinômio trigonométrico – logo, infinitamente diferenciável. Vamos usar ideias de convergência pontual, núcleo de Dirichlet e do fenômeno de Gibbs.
Passo 2
Cada soma parcial
da série de Fourier é um polinômio trigonométrico, portanto é uma função
. Em particular, não existe nele nenhum salto ou descontinuidade.
Passo 3
A chave está em que a convergência da série de Fourier não é uniforme em pontos de descontinuidade. As somas parciais podem usar oscilações de frequência cada vez mais alta (relacionadas ao núcleo de Dirichlet
) para aproximar o salto mantendo a suavidade de cada aproximação.
Passo 4
Essas oscilações de alta frequência se acumulam perto do ponto de descontinuidade, gerando o overshoot típico do fenômeno de Gibbs. Fora dessa região, a amplitude das oscilações tende a zero, garantindo a convergência ao valor correto da função.
Passo 5
No limite
, as oscilações ficam confinadas arbitrariamente perto do ponto de salto e não aparecem em outros lugares. Assim, embora cada
seja suave, a sequência concentra oscilação suficiente na vizinhança da descontinuidade para reproduzir o salto na função limite.
Resposta
Cada soma parcial usa oscilações de frequência cada vez maior e amplitude decrescente longe do salto, concentrando-as no ponto de descontinuidade (fenômeno de Gibbs). Assim, enquanto cada aproximante é suave, no limite essas oscilações reproduzem o salto, permitindo que a série de Fourier converja a uma função descontínua.