Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Equações Diferenciais B
1^circ. Semestre de 2022 - 1^a. Prova
4 de maio de 2022 - 14:55-16:35
Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1: [8 pontos] Considere a função f: R R periódica de período 2 pi, ímpar, definida no intervalo [0, pi] por
f(x)=x^2
b) [1 ponto] Explique intuitivamente o mecanismo que permite que uma série de Fourier convirja para uma função descontínua, apesar das somas parciais de uma série de Fourier serem infinitamente diferenciáveis.

Passo 1

O enunciado de b) nos pede para entender por que a série de Fourier de uma função descontínua pode convergir a essa função, mesmo que cada soma parcial seja um polinômio trigonométrico – logo, infinitamente diferenciável. Vamos usar ideias de convergência pontual, núcleo de Dirichlet e do fenômeno de Gibbs.

Passo 2

Cada soma parcial SN(x) da série de Fourier é um polinômio trigonométrico, portanto é uma função C^infty. Em particular, não existe nele nenhum salto ou descontinuidade.

Passo 3

A chave está em que a convergência da série de Fourier não é uniforme em pontos de descontinuidade. As somas parciais podem usar oscilações de frequência cada vez mais alta (relacionadas ao núcleo de Dirichlet DN) para aproximar o salto mantendo a suavidade de cada aproximação.

Passo 4

Essas oscilações de alta frequência se acumulam perto do ponto de descontinuidade, gerando o overshoot típico do fenômeno de Gibbs. Fora dessa região, a amplitude das oscilações tende a zero, garantindo a convergência ao valor correto da função.

Passo 5

No limite Ntoinfty, as oscilações ficam confinadas arbitrariamente perto do ponto de salto e não aparecem em outros lugares. Assim, embora cada SN seja suave, a sequência concentra oscilação suficiente na vizinhança da descontinuidade para reproduzir o salto na função limite.

Resposta

Cada soma parcial usa oscilações de frequência cada vez maior e amplitude decrescente longe do salto, concentrando-as no ponto de descontinuidade (fenômeno de Gibbs). Assim, enquanto cada aproximante é suave, no limite essas oscilações reproduzem o salto, permitindo que a série de Fourier converja a uma função descontínua.

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