Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Equações Diferenciais B
1^circ. Semestre de 2022 - 1^a. Prova
4 de maio de 2022 - 14:55-16:35
Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1: [8 pontos] Considere a função f: R R periódica de período 2 pi, ímpar, definida no intervalo [0, pi] por
f(x)=x^2
a) [6 pontos] Calcule a série de Fourier de f.

Passo 1

A função é periódica de período 2pi e ímpar, e no intervalo [0,pi] vale f(x)=x^2. Como ela é ímpar e de período 2pi, sua série de Fourier terá somente termos senoidais. Vamos precisar usar a fórmula dos coeficientes de Fourier para função ímpar e aplicar duas integrações por partes.

Passo 2

Para função ímpar de período 2pi temos a expansão
f(x)= sumn=1^inftybn,sin(nx)
com
bn=2piintegral0^pix^2sin(nx),dx

Passo 3

Calculemos
I=integral0^pix^2sin(nx),dx
Fazendo integração por partes com u=x^2, dv=sin(nx),dx:
I=-x^2ncos(nx)|0^pi+2nintegral0^pixcos(nx),dx
logo
I=-pi^2cos(npi)n+2nJ,
onde
J=integral0^pixcos(nx),dx

Passo 4

Para calcular J fazemos outra integração por partes: u=x, dv=cos(nx),dx:
J=xnsin(nx)|0^pi-1nintegral0^pisin(nx),dx =-1n1-(-1)^nn=-1-(-1)^nn^2

Passo 5

Substituindo J em I obtemos
I=-pi^2(-1)^nn-2l(1-(-1)^nr)n^3
Assim
bn=2piI =-2pi(-1)^nn-4l(1-(-1)^nr)pi n^3 =2pi(-1)^n+1n+4l((-1)^n-1r)pi n^3

Passo 6

Logo a série de Fourier de f fica
f(x)=sumn=1^inftyl(2pi(-1)^n+1n+4l((-1)^n-1r)pi n^3r)sin(nx)

Resposta

f(x)=sumn=1^inftyl(2pi(-1)^n+1n+4l((-1)^n-1r)pi n^3r)sin(nx)

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