Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Equações Diferenciais B . Semestre de 2022 - . Prova
4 de maio de 2022 - 14:55-16:35
Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1: [8 pontos] Considere a função periódica de período , ímpar, definida no intervalo por
a) [6 pontos] Calcule a série de Fourier de .
Passo 1
A função é periódica de período e ímpar, e no intervalo vale . Como ela é ímpar e de período , sua série de Fourier terá somente termos senoidais. Vamos precisar usar a fórmula dos coeficientes de Fourier para função ímpar e aplicar duas integrações por partes.
Passo 2
Para função ímpar de período temos a expansão
com
Passo 3
Calculemos
Fazendo integração por partes com , :
logo
I=-pi^2cos(npi)n+2nJ,
onde
J=integral0^pixcos(nx),dx
Passo 4
Para calcular J fazemos outra integração por partes: u=x, dv=cos(nx),dx: