Seja a função:
z=F(x, y)=1x^2+y^2-3
Faça o que se pede:
c ) (0,4 pts) Calcule a diferencial total para a variação de A(1,1) para B(1,03 ; 0,72);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a diferencial total da função para a variação de para . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando diferenciais para aproximar mudanças em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e usar a fórmula da diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de F(x, y) = 1x^2 + y^2 - 3 em relação a partial Fpartial x = -2x(x^2 + y^2 - 3)^2 e partial Fpartial y = -2y(x^2 + y^2 - 3)^2 . A derivada parcial em relação a é obtida tratando como constante, e vice-versa.
Então, temos:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas em A(1, 1). Primeiro, calculamos o denominador:
x^2 + y^2 - 3 = 1^2 + 1^2 - 3 = 1 + 1 - 3 = -1
Então:
partial Fpartial xg|(1,1) = -2 times 1(-1)^2 = -21 = -2
partial Fpartial yg|(1,1) = -2 times 1(-1)^2 = -21 = -2

Passo 4

A diferencial total dz = partial Fpartial x dx + partial Fpartial y dy é dada por:
dx = xB - xA = 1.03 - 1 = 0.03
Aqui, dy = yB - yA = 0.72 - 1 = -0.28 é a variação em e é a variação em . Vamos calcular e :

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da diferencial total:
dz = (-2) times 0.03 + (-2) times (-0.28)
dz = -0.06 + 0.56
dz = 0.50

Resposta

A diferencial total para a variação de para é 0,50.

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